Rappel : $|ab,cd| := (|ac||bd|)/(|bc||ad|)$ est invariant par trsf. circulaires. $$
12|zf_1| + 9|zf_2| = 17|zf_3|
$$ $$
3|f_2f_3||zf_1| + 3|f_1f_3||zf_2| = \textstyle{\frac{17}{5}}|f_1f_2||zf_3| \quad| ÷3÷|f_1f_2|÷|zf_3|
$$ $$
|zf_2,f_1f_3| + |zf_1,f_2f_3| = \textstyle{\frac{17}{15}}
$$ Inversion de centre $f_3$ et de puissance 36, envoie $f_1\mapsto g_1(12, 0)$, $f_2\mapsto g_2(0,9)$, $f_3\mapsto \infty$ $$
|zg_2,g_1\infty| + |zg_1,g_2\infty| = \textstyle{\frac{17}{15}}\quad\text{N.B.} |ab,c|:=|ac|÷|bc|
$$ $$
|zg_2,g_1| + |zg_1,g_2| = \textstyle{\frac{17}{15}} \quad \times |g_1g_2| \;(= 15)
$$ $$
|zf_1|+|zf_2|=17
$$ Une ellipse. La courbe du début est donc la branche visible d'un limaçon de Pascal elliptique (presque).
L'autre branche de ce limaçon en est un point isolé, l'origine.
Bonjour Christoph
J'ai un petit problème de terminologie : je pensais que, classiquement, un limaçon de Pascal elliptique était un limaçon de Pascal ayant un point singulier isolé ou, ce qui revient au même, l'inverse d'une ellipse par rapport à un de ses foyers.
Ta courbe est une quartique bicirculaire rationnelle acnodale, mais pas un limaçon de Pascal (d'ailleurs elle n'a pas d'axe de symétrie). Est-ce pour cela que tu dis que c'est presque un limaçon de Pascal elliptique, auquel cas nous serions d'accord ?
Sauf erreur, ta courbe est aussi la podaire de $F_{3}$ par rapport à l'hyperbole d'équation $x^{2}-\dfrac{27}{4}xy+y^{2}+27x+\dfrac{81}{4}y+81=0$ (dont les axes sont parallèles aux bissectrices des axes de coordonnées).
Amicalement. Poulbot
Oui, presque.
Pour un "vrai" limaçon, il eût fallu que je prisse, je crois,
le centre d'inversion en $G_1$ ou en $G_2$.
On pourrait dire Limaçon elliptique généralisé où, en abandonnant la référence à Pascal, Ellipse inversée.
Je ne maîtrise pas du tout les podaires, définition mise à part.
Ci-bas le centre d'inversion est à l'origine. Les axes de l'ellipse mesurent 14 et $14/\sqrt{3}$.
Re-bonjour Christoph
Si deux coniques sont polaires réciproques par rapport à un cercle, l'inverse de l'une par rapport au cercle est la podaire du centre du cercle par rapport è l'autre.
Amicalement. Poulbot
Réponses
12|zf_1| + 9|zf_2| = 17|zf_3|
$$ $$
3|f_2f_3||zf_1| + 3|f_1f_3||zf_2| = \textstyle{\frac{17}{5}}|f_1f_2||zf_3| \quad| ÷3÷|f_1f_2|÷|zf_3|
$$ $$
|zf_2,f_1f_3| + |zf_1,f_2f_3| = \textstyle{\frac{17}{15}}
$$ Inversion de centre $f_3$ et de puissance 36, envoie $f_1\mapsto g_1(12, 0)$, $f_2\mapsto g_2(0,9)$, $f_3\mapsto \infty$ $$
|zg_2,g_1\infty| + |zg_1,g_2\infty| = \textstyle{\frac{17}{15}}\quad\text{N.B.} |ab,c|:=|ac|÷|bc|
$$ $$
|zg_2,g_1| + |zg_1,g_2| = \textstyle{\frac{17}{15}} \quad \times |g_1g_2| \;(= 15)
$$ $$
|zf_1|+|zf_2|=17
$$ Une ellipse. La courbe du début est donc la branche visible d'un limaçon de Pascal elliptique (presque).
L'autre branche de ce limaçon en est un point isolé, l'origine.
Le dessin suit.
J'ai un petit problème de terminologie : je pensais que, classiquement, un limaçon de Pascal elliptique était un limaçon de Pascal ayant un point singulier isolé ou, ce qui revient au même, l'inverse d'une ellipse par rapport à un de ses foyers.
Ta courbe est une quartique bicirculaire rationnelle acnodale, mais pas un limaçon de Pascal (d'ailleurs elle n'a pas d'axe de symétrie). Est-ce pour cela que tu dis que c'est presque un limaçon de Pascal elliptique, auquel cas nous serions d'accord ?
Sauf erreur, ta courbe est aussi la podaire de $F_{3}$ par rapport à l'hyperbole d'équation $x^{2}-\dfrac{27}{4}xy+y^{2}+27x+\dfrac{81}{4}y+81=0$ (dont les axes sont parallèles aux bissectrices des axes de coordonnées).
Amicalement. Poulbot
Pour un "vrai" limaçon, il eût fallu que je prisse, je crois,
le centre d'inversion en $G_1$ ou en $G_2$.
On pourrait dire Limaçon elliptique généralisé où, en abandonnant la référence à Pascal, Ellipse inversée.
Je ne maîtrise pas du tout les podaires, définition mise à part.
Ci-bas le centre d'inversion est à l'origine. Les axes de l'ellipse mesurent 14 et $14/\sqrt{3}$.
Amicalement, soland.
Si deux coniques sont polaires réciproques par rapport à un cercle, l'inverse de l'une par rapport au cercle est la podaire du centre du cercle par rapport è l'autre.
Amicalement. Poulbot