Rigidité

Comme les longueurs des barres sont fixées, on a nécessairement un parallélogramme.
Appelons $\let\th=\theta\th$ l'angle formé par les barres, mesuré en bas à gauche. Dans un repère centré au coin en bas à gauche, les extrémités de la barre transversale (de longueur $z$) ont pour coordonnées $(z\cos\theta+y,z\sin\theta)$ et $(x,0)$. Le carré de la longueur de la barre transversale est donc\[(z\cos\theta+y-x)^2+z^2\sin^2\theta=2z(y-x)\cos\theta+z^2+(x-y)^2.\]C'est une fonction strictement monotone de $\th$ qui prend la valeur $z^2$ en un point au plus : $\arccos\dfrac{x-y}{2z}$.

Ce $2$ au dénominateur m'étonne un peu parce que la condition pour qu'il y ait une position qui convient me semble être $z+y\ge x$ (parallélogramme aplati).

Bon, un parallélogramme ou peu s'en faut.

Le calcul doit au moins montrer que ce n'est pas déformable, cependant, non ? Ça pourrait être une définition de rigidité ?

Oui, j'ai un tout petit peu divisé par $x-y$ en effet. Pas mon genre de diviser par zéro, pourtant.