Joli petit problème affine

Bonjour
Voici la figure complète de Soland.
Le théorème de Ménélaüs, pourquoi pas?
C'est ce à quoi se résume notre cours de géométrie affine avec le théorème de Céva et l'axiome de Thalès.
J'ai l'intuition qu'on devrait pouvoir s'en sortir aussi avec les divers faisceaux harmoniques apparaissant sur la figure mais il est vrai que la géométrie projective a sombré corps et bien depuis des décennies.
Alors pourquoi pas le théorème de Ménélaüs, oui, pourquoi pas?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Catherine
Je note que tu aimes bien utiliser les théorèmes de Pascal et de Brianchon qui appartiennent à la géométrie projective.
Ta preuve est donc projective et d'ailleurs tu utilises les notions de point à l'infini et de droite de l'infini.
Mais tant qu'à faire de la géométrie projective, il y a quand même beaucoup plus simple: utiliser les faisceaux harmoniques, (que j'ai rencontrés pour la première fois de ma vie en classe de Seconde).
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir,

Ce forum n'étant apparemment pas à une cuistrerie près, démontrons la propriété affine proposée par soland en passant par la géométrie euclidienne.

1. Munissons le plan du quadrilatère complet ABCHDE (figure 1) du produit scalaire qui fait de H l'orthocentre du triangle ABC. Considérons le cercle des neuf points de ABC et son centre $\epsilon$. Soit $\beta$ et $\beta$' les milieux des côtés AB et BC et soit $\gamma$ et $\gamma$' les milieux de HC et HA.

2. Considérons (figure 2) les intersections $\alpha$ et $\alpha$' des médianes E$\beta$' et D$\beta$ avec les droites AD et CE. Soit $\omega$ l'intersection des deux médianes, nous allons montrer que la droite $\alpha$$\alpha$' est parallèle à $\beta$$\beta$' (et donc à AC et $\gamma$$\gamma$'). Lorsque $\alpha$ sera "à l'infini"..., il en sera donc de même de $\alpha$'.

3. L'hexagone "de Pascal" $\beta$D$\gamma$'$\beta$'E$\gamma$ de la figure 3 permet de voir que les trois points $\gamma$, $\epsilon$ et $\omega$ sont alignés.

4. Grâce à cet alignement, le théorème de Desargues appliqué aux triangles $\alpha$$\beta$$\gamma$ et $\alpha$'$\beta$'$\gamma$' de la figure 4 permet alors de conclure... (après avoir pris soin d'oublier la structure euclidienne passagère, évidemment).

Cordialement
C.N.

Remarque : comme il a été dit dans mon post précédent, le théorème de Brianchon (réciproque) donne immédiatement le résultat à partir de l'hexagone CA$\alpha$'$\alpha$$\beta$$\beta$'.