Validation d’une démonstration (sous-variété)

Mon cher Liedeberg
J'avoue avoir la flemme de te lire mais il me semble qu'on a le résultat un peu plus général suivant qui caractérise la structure de sous-variété.
On se donne une variété $X$ et une sous-variété $Y$ d'une variété $Z$, on appelle $i:Y\mapsto Z$ l'injection canonique.
Alors $f:X\mapsto Y$ est un morphisme si et seulement si $i\circ f: X\mapsto Z$ est un morphisme.
Amicalement.
[small]p[/small]appus

Bonsoir Liedeberg
Voilà comment je vois les choses
Si je savais faire les diagrammes commutatifs, mes explications seraient sans doute plus claires
On a une sous-variété $M$ de $\mathbb R^n$ et donc un morphisme d'inclusion $i: M\mapsto \mathbb R^n$
D'autre part on a un difféomorphisme $f:\mathbb R^n\mapsto \mathbb R^n$ induisant une application $g:M\mapsto M$
Autrement dit on a un rectangle commutatif impliquant:
$$i\circ g=f\circ i$$
Donc $i\circ g$ est un morphisme comme composé de deux morphismes et par suite d'après le résultat que j'ai cité, $g$ est un morphisme.
Maintenant on rebelote avec: $i\circ g^{-1}=f^{-1}\circ i$ et $g^{-1}$ est un morphisme.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Exemple d'application:
L'application antipodale $p:x\mapsto -x$ de la sphère $S^n$ est un morphisme de $S^n$ puisque $S^n$ est une sous-variété de $\mathbb R^{n+1}$ et ici $p=p^{-1}$
Tout le sale boulot est en fait de montrer que $S^n$ est une sous-variété de $\mathbb R^{n+1}$.

Mon cher Liedeberg
Effectivement, je citais ce résultat de mémoire car je suis toujours loin de mes bases.
Je ne sais plus trop où je l’ai vu, certainement dans un bon livre sur le sujet et il y en a beaucoup en français, la référence en la matière, étant le livre de Dieudonné en un nombre non dénombrable de volumes: Les fondements de l’analyse moderne.
Je te signale le théorème dual sur les variétés quotients et les submersions.
Si on a une submersion $p:X\mapsto Y$ et une troisième variété $Z$, alors $f:Y\mapsto Z$ est un morphisme si et seulement si $f\circ p:X\mapsto Z\ $ est un morphisme. (On a changé le sens des flèches!).
Dans la théorie des variétés, il y a un certain nombre de gros théorèmes à appliquer, comme je le dis, le sale boulot est fait dans le cours et pratiquement il y a peu de calculs à faire.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir
L’application antipodale était induite par $-id \in GL(n+1,\mathbb R)$.
Dans le cas présent, $f$ est induite bpar une transformation d’un groupe un peu plus compliqué opérant localement sur $\mathbb R^{n+1}$. Ce groupe est-il encore enseigné, j’en doute fort?
Conclusion: cet exercice est infaisable par un étudiant suivant un cours sur les variétés!
Mais ce n’est pas très grave puisque tout le monde s’en fout.
Amicalement
[small]p[/small]appusj

Bonjour Liedeberg
La défunte géométrie en question est le groupe circulaire de $\mathbb R^{n+1}$ et la transformation (locale) de $\mathbb R^{n+1}$ qui induit $f$ est tout bêtement une inversion qui aux dernières nouvelles plus très fraîches serait un morphisme.
On s'amusait même autrefois, il y a très très longtemps, dans un autre monde, dans un autre siècle, à une époque maintenant révolue, à calculer la différentielle d'une inversion.
C'est le genre de petit calcul dont je parlais, qu'on ne peut éviter en dehors de l'application des gros théorèmes de la théorie et qui t'aurait été bien utile aujourd'hui.
En tout cas bon courage!
Amicalement
[small]p[/small]appus