L'utilisation du logiciel

Bonjour
La parallèle à l'axe passant par le symétrique de $A$ par rapport à l'axe coupe $BC$ en un point dont le lieu semble très sympathique.
Amicalement. Poulbot

Je me suis amusé à comprendre la figure pour retrouver la droite de poulbot.
Bonne nuit !

Bonne question mon cher pappus !

J'ai l'impression que la seule possibilité est que $H$ soit très très loin sur la droite $\Delta$. :-S

Je vais regarder.
C'est dommage d'en savoir si peu sur les coniques... (td)

Merci poulbot pour le cas de l'hyperbole équilatère.
Une petite figure tout de même pour montrer ses asymptotes.
J'ai appris ce soir à construire une hyperbole (pas nécessairement équilatère) connaissant un point et les asymptotes !
Il n'est jamais trop tard...

Bonjour pappus,

J'explique ma figure qui a consisté en quelque sorte à lire entre les lignes le message de poulbot concernant la notion de courbe orthoptique.
Soit $H\in\Delta$ la droite orthoptique de la parabole $\Pi$.
Soit alors $\mathcal T_1,\mathcal T_2$ les tangentes à $\Pi$ perpendiculaires en $H$.
D'après poulbot, l'hyperbole $\mathcal H$ associée à $H$ est équilatère de centre $F$.
Je conjecture alors que les asymptotes de $\mathcal H$ sont parallèles à $\mathcal T_1$ et $\mathcal T_2$.
Pour rappel, on sait déjà que $H\in\mathcal H$.
Je construis alors $\mathcal H$ en suivant la méthode des lycéens d'antan !
Ne reste plus qu'ensuite à choisir $A,B\in\Pi$ tels que $AB$ est tangente à $\mathcal H$ puis... roule Marcel !

Et $\mathcal H$ est bien réelle ! ;-)

Merci pour ces explications très illustrées. (tu)

L'ânerie ?
J'ai envie de te demander quel est le rectangle circonscrit à une hyperbole équilatère ?

P.S. : Je réfléchis à ton histoire d'intersection droite-hyperbole...

Merci poulbot,

Donc cette restriction sur les hyperboles équilatères n'empêche pas l'existence d'un triangle $ABC$ inscrit dans $\Pi$ dont l'orthocentre est sur $\Delta$.

Bonne journée !

Bonjour Math Coss
Une parabole, n'ayant qu'une tangente de direction donnée, ne peut pas avoir de rectangle circonscrit.
Cordialement. Poulbot

Oui, Poulbot, je vois bien qu'il faut abandonner quelque chose mais que deviennent les deux tangentes ?

Merci GaBuZoMeu. J'essaie de le démontrer par le calcul. Fixons un repère orthonormé où les droites $D$ et $D'$ ont pour équations $x=0$ et $y=0$. Notons l'équation de la conique [\Gamma\;:\qquad ax^2+2bxy+cy^2+2dxz+2eyz+fz^2=0.\]On veut que $D$ et $D'$ soient tangentes à $\Gamma$ et, disons, que les points de tangence soient « à distance finie ». Cela veut dire que les équations obtenues en posant $x=0$ (resp. $y=0$) et $z=1$ doivent avoir une solution double, ce qui donne : $e^2-cf=0$, $d^2-af=0$. Le cas $f=0$ correspond à une ellipse de rayon nul ou à deux droites sécantes en l'origine ; on l'écarte, ce qui permet de supposer $f=1$. L'équation de $\Gamma$ est donc de la forme\[\Gamma\;:\qquad d^2x^2+2bxy+e^2y^2+2dxz+2eyz+z^2=0.\]On cherche pour quelle(s) valeurs de $x$ (resp. $y$) le discriminant par rapport à $y$ (resp. $x$) est nul, de sorte qu'il y ait une tangente parallèle à $x=0$ (resp. $y=0$). Les discriminants sont respectivement\[ -\bigl((de + b)x + 2ez\bigr)(de - b)x\quad\text{et}\quad -\bigl((de+ b)y + 2dz\bigr)(de - b)y.\]Si $b-de=0$, l'équation de $\Gamma$ se factorise en $(dx+ey+z)^2=0$, cas dégénéré que l'on écarte.

Si $b+de\ne0$, il y a bien une deuxième paire de tangentes « à distance finie », elles sont parallèles aux axes et forment avec les axes un rectangle circonscrit à $\Gamma$.

Si $b+de=0$, les deux tangentes ont la même équation $z=0$, ce qui est bien la droite à l'infini ; d'autre part, $ax^2+2bxy+cy^2=(dx + ey)^2$ donc $\Gamma$ est bien une parabole.

NB : Le rang de $d^2x^2+2bxy+e^2y^2$ est $2$ SSI $b^2-d^2e^2\ne0$ : les tangentes passant par $P=(1:0:0)$ et $P'=(0:1:0)$ sont égales (à la droite à l'infini $z=0$) SSI $\Gamma$ est une parabole (on n'a vu qu'un seul sens ci-dessus ; la réciproque correspond à la remarque de Poulbot).

J'abdique pour les cas plus dégénérés. Pour montrer ce qu'a dit Poulbot plus haut, il resterait aussi à relier l'excentricité $<\sqrt2$ à la possibilité d'avoir des tangentes perpendiculaires mais ce genre d'équations n'est pas idéal pour l'excentricité.