Équation d'un secteur de cercle (disque)

naimaI · March 2018

Bonsoir,
svp j'ai besoin d'aide je suis novice en math
alors je voudrais savoir est-ce que c'est possible de déduire l'équation du secteur d'un cercle en connaissant le centre du cercle et l'angle du secteur et le rayon ???
Sinon qu'elle est la meilleur façon de déterminer si un point (x,y) appartient au secteur du cercle avec l'angle alpha et le rayon r et le centre (a,b).
Merci à l'avance pour votre aide.

jelobreuil · April 2018

Bonjour Naimal,
Non, je ne pense pas qu'il soit possible de définir (dans un plan muni d'un repère orthonormé, je suppose ?) l'équation d'un secteur de cercle en général : étant donné qu'un secteur est une surface délimitée par un arc de cercle et deux segments de droite, on ne peut pas représenter cette frontière (entre intérieur et extérieur) composite, c'est-à-dire formée d'éléments de deux natures différentes, avec une seule équation du type y = f(x).
Pour savoir si un point donné (x, y) appartient à un secteur donné d'un cercle donné, il faut effectivement connaître le rayon et le centre du cercle, ainsi que l'angle du secteur, mais cela ne suffit pas : il faudrait aussi connaître la position du secteur dans le cercle ! C'est-à-dire, par exemple, quel est l'angle que fait l'axe de symétrie du secteur avec l'axe des x ...
A partir de là, on devrait pouvoir s'en sortir avec un peu de trigonométrie ...
En espérant t'avoir mis ou mise sur la bonne voie ...
Bien cordialement
JLB

gerard0 · April 2018

Bonjour Naimal.

Ton secteur de disque sera défini par trois inéquations que je te laisse établir :
$A\le 0$ (les points sont à l'intérieur d'un cercle)
$B \ge 0$ (les points sont d'un certain côté d'une droite, d'un rayon)
$C \ge 0$ (les points sont d'un certain côté d'une certaine autre droite)

On transforme en trois équations :
$\sqrt{(-A)^2} = -A$
$\sqrt {B^2} = B$
$\sqrt {C^2} = C$
soit encore
$\sqrt{(-A)^2} +A = 0$
$\sqrt {B^2} - B = 0$
$\sqrt {C^2} - C = 0$
Et on rassemble en une seule équation (une somme de carrés est nulle si et seulement si chacun des termes au carré est nul) :
$(\sqrt{(-A)^2} +A)^2+(\sqrt {B^2} -

^2+(\sqrt {C^2} - C)^2 = 0$

C'est une équation inutilement compliquée, les trois inéquations du début sont bien plus utiles, mais c'est ce que tu voulais.

Bon travail !

Math Coss · April 2018

Est-ce que le but, c'est de traduire ça dans un programme ? Alors, il vaut mieux manipuler des inégalités que des égalités (du genre de celles à la fin du message de Gérard ; c'est d'ailleurs bien ce qu'il dit).

Si c'est pour faire un programme, les égalités sont d'autant moins appropriées qu'il y aura des problèmes d'arrondis. Par exemple, si je calcule l'ordonnée du point d'abscisse $x_0=2./7.$ du demi-cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $1$ situé dans le demi-plan $y\ge0$, Sage me donne une valeur de $y_0=\sqrt{1-x_0^2}$ pour laquelle $x_0^2+y_0^2-1$ ne vaut pas exactement $0$ :

sage: x0, y0 = 2./7., sqrt(1-(2./7.)^2)
sage: print x0, y0
0.285714285714286 0.958314847499910
sage: print x0^2+y0^2-1
2.22044604925031e-16

Ainsi, pour voir si un point $(x,y)$ est sur le cercle, même si on en a une équation, il vaut mieux tester $\bigl|(x-a)^2+(y-b)^2-r^2\bigr|\le10^{-10}$ plutôt que l'équation exacte $(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0$.

Par ailleurs, le problème n'est pas complètement spécifié : l'angle d'un arc de cercle, c'est par exemple « un quart de tour » (ou 90°). Mais où est placé ce quart de tour ?

gerard0 · April 2018

Ah, effectivement, j'étais resté sur l'idée d'un secteur circulaire donné, il faut donc au moins l'un des deux côtés rectilignes.

naimaI · April 2018

Tout d'abord je suis désolée d'avoir tarder pour répondre et merci enormement pour votre temps
Math Coss oui en effet c'est pour un programme informatique je vais prendre vos conseils en concidération
en fait j'ai un vehicule dont on connait le vecteur de vélocité muni d'une camera et le champs de vision de cette camera est un secteur de cercle dont on connais l'angle d'ouverture le centre qui est le vehicule (la position du vehicule) et je veux savoir si un autre vehicule (point) appartient au secteur de cercle comme dans l'image.

gerard0
A<0 (les points sont à l'intérieur d'un cercle)
B>0 (les points sont d'un certain côté d'une droite, d'un rayon)
C>0 (les points sont d'un certain côté d'une certaine autre droite)

si j'ai bien compris (a,b) étant le centre du cercle
A= (x-a)²+(y-b)² - r² < 0
et pour B et C je dois avoir l'equation du rayon or je ne connais qu'un seul point qui appartient au rayon qui est le centre du cercle
désolée je ne suis pas une mathématicienne et je n'ai jamais été tres brillante en math
et merci encore :-) 74648

gerard0 · April 2018

Bonjour.

Savoir que la caméra est sur le véhicule ne définit pas le secteur angulaire qu'elle voit. Il te faut donc connaître la direction de la caméra, et l'angle de vue. La suite est des mathématiques qui s'apprenaient autrefois au lycée. Si c'est un projet professionnel, il y a des cabinets d'ingénierie qui pourront te faire le travail. Si c'est pour toi, c'est le moment d'apprendre les éléments de géométrie analytique dont tu as besoin.

Si le problème est seulement de savoir si un point M est à l'intérieur du secteur circulaire, il y a bien plus simple que de chercher les équations : On vérifie qu'il est à l'intérieur du cercle puis on calcule l'angle entre CM et V_t, son cosinus même suffit (*), pour savoir s'il est dans le champ de vison.

Cordialement.

(*)$\cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{V_t}}{CM\times V_t}$

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