Triangles homothétiques

Bonjour à tous

On considère un triangle $ABC$ dont le cercle inscrit $I(r)$ est tangent aux côtés $BC$, $CA$, $AB$ en $D$, $E$, $F$ respectivement.
Soit $XYZ$ un triangle équilatéral inscrit de côtés $2l$.
Les cercles de rayons $l$ et de centres $X$, $Y$, $Z$ sont mutuellement tangents. Pour chacun de ces cercles, on considère la tangente parallèle au côté correspondant. Ces tangentes forment un triangle $A'B'C'$ homothétique à $ABC$.

Les images des côtés $BC$, $CA$ et $AB$ du triangle $ABC$ par les homothéties $h(A, 1+u)$, $h(B, 1+v)$, $h(C, 1+w)$ forment un triangle homothétique à $ABC$ en les coordonnées homogènes $(u:v:w)$, de rapport d'homothétie $1+u+v+w$.

Quelqu'un peut-il m'aider à déterminer l'équation barycentrique de la droite image du côté $BC$ (par exemple) par l'homothétie $h(A,1+u)$ ?

Comment déterminer les coordonnées barycentriques homogènes des sommets du triangle déterminé par ces droites ?
Ces coordonnées figurent ci-dessous mais je ne sais pas comment les obtenir.
\begin{equation}
(1+v+w: -v: -w), \quad (-u: 1+u+w: -w), \quad (-u: -v: 1+u+v)
\end{equation}
Une petite aide serait grandement appréciée.
Cordialement.