Coordonnées homogènes
Bonsoir, je les utilise depuis deux ans maintenant et puis je me pose une question... de base.
On est dans P(R3).
A et B ont pour représentants homogènes (4,2,2) et (3,2,1). Tout multiple de ces triplets représente le même point du plan projectif, la même droite vectorielle de R3.
Le point C représenté par (5,4,1) est aligné avec AB (droite x-y-z=o).
On dit partout que C a pour abscisse projective dans le repère (A,B) un représentant de (-1,3) dans. l'espace projectif de dimension 1 sur K (corps de base de l'espace vectoriel associé à l'espace projectif),puisque C=3A-B.
Je me demande si plus de 50% des taupins se rendaient compte que cette abcisse projective dépend du choix des représentants de A et B: avec A'(2,1,1) et B'(6,4,2), C s'écrit -2A'+3/2B', soit (-2,3/2)à qui n'a rien à voir avec (-1,3).
Dans les coniques on utilise souvent un point M=aMo+bM1, où Mo et M1 sont soit sur une sécante, soit sur la conique, soit sur une tangente, etc... et on fait de jolis calculs.
A aucun moment, je ne me suis dit que a et b dépendaient du choix des représentants de Mo et M1.
Suis-je passé à côté de quelque chose ?
Merci de vos commentaires.
Amateur.
On est dans P(R3).
A et B ont pour représentants homogènes (4,2,2) et (3,2,1). Tout multiple de ces triplets représente le même point du plan projectif, la même droite vectorielle de R3.
Le point C représenté par (5,4,1) est aligné avec AB (droite x-y-z=o).
On dit partout que C a pour abscisse projective dans le repère (A,B) un représentant de (-1,3) dans. l'espace projectif de dimension 1 sur K (corps de base de l'espace vectoriel associé à l'espace projectif),puisque C=3A-B.
Je me demande si plus de 50% des taupins se rendaient compte que cette abcisse projective dépend du choix des représentants de A et B: avec A'(2,1,1) et B'(6,4,2), C s'écrit -2A'+3/2B', soit (-2,3/2)à qui n'a rien à voir avec (-1,3).
Dans les coniques on utilise souvent un point M=aMo+bM1, où Mo et M1 sont soit sur une sécante, soit sur la conique, soit sur une tangente, etc... et on fait de jolis calculs.
A aucun moment, je ne me suis dit que a et b dépendaient du choix des représentants de Mo et M1.
Suis-je passé à côté de quelque chose ?
Merci de vos commentaires.
Amateur.
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Réponses
PS. Si $M_0$ et $M_1$ sont des points distincts du plan projectif, l'écriture $aM_0+bM_1$ n'a aucun sens. Si $(x_0:y_0:z_0)$ et $(x_1:y_1:z_1)$ sont des systèmes de coordonnées homogènes pour les points $M_0$ et $M_1$, alors les $(ax_0+bx_1:ay_0+by_1:az_0+bz_1)$ ($a,b$ non tous les deux nuls) sont des systèmes de coordonnées homogènes décrivant tous les points de la droite projective $(M_0M_1)$.
Si le système (axo+bx1, etc...) décrit tous les points de la droite AB, quel est le sens de a et ?,ce ne sont pas les coordonnées homogènes d'UN point dans le repère A,B ? Cette écriture est couramment utilisée dans les livres que j'ai sous la main, elle entretien, on disait exprès, l'ambiguïté avec l'écriture affine...
" Représentation de la droite projective D déterminée par deux points distincts A et B.
Le point générique de D admet pour représentant homogène vect M=k.vectA+l.vectB, où vectA et vctB sont des représentants homogènes arbitrairement choisis de A et B.
Le coupe (k,l) de scalaires du corps de base K est un système de coordonnées homogènes de M par rapport à la base (vectA,vectB) du sous-espace vectoriel vectD de E, duquel D est issue. Autrement dit l'élément "classe de (k,l)" est l'abcisse projective de M de D par rapport à la base( vectA,vectB) de vectD. "
J'ai déjà mis un document en lien dans un autre fil. Je mets aussi le lien ici, qui sait, cela pourra peut-être te servir.
Mais c'est le formalisme qui égare mes faibles réflexes...je suis un taupin de 1970 qui s'y est remis en étant à la retraite...
Ceci dit, ai-je bien compris: le "classe de (k,l)" dont parle Cagnac dépend du choix des représentants de A et B ?
Petit exercice : on se donne trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sur une droite projective. On choisit un représentant $\vec C$ de $C$. Montrer que pour tout couple $(k,\ell)$ de nombres non nuls, il existe des représentants $\vec A$ de $A$ et $\vec B$ de $B$ tels que $\vec C= k\vec A + \ell \vec B$.
C'est contre-intuitif, la manière dont on utilise cette abscisse projective dans les traités (pour une droite ou un faisceau) fait penser qu'elle ne dépend pas du choix des représentants...Je vais relire mes cours et voir combien de fois j'ai utilisé mentalement l'intuition(fausse) inverse.
A= 4,2,2 B=3,2,1 C=5,4,1
k/l=--4/3
A'=2,1,1. B'=6,4,2