P(C3)

amateur · April 2018

Bonsoir,

l'un d'entre vous parait-il m'indiquer les références d'un article synthétique et à la portée d'un taupin très moyen, pour comprendre les propriétés de C2 et de P(C3).

Dans les cours sur les coniques, on en reste, en tout cas moi, aux coniques à coefficients réels. Par contre on fait souvent appel aux imaginaires et on les introduit, quand on en a besoin en "ajoutant" i sur les axes de R2ou R3, et en manipulant comme si c'était un nombre ordinaire, comme si les points cycliques étaient des points ordinaires, les droites isotopes aussi, etc.. avec la seule particularité que i2=-1, que les isotropes sont perpendiculaires à elles-même, et quelques généralités sur les imaginaires conjugués, leur milieu réel.etc..

Le problème est qu'on fait appel à eux dans des démonstrations ou des problèmes où ils côtoient des points à l'infini (sur une carte affine), des longueurs sur une transversale. Or jamais on ne se pose la question (dans les cours que j'ai sous la main) du caractère affine de C2 (je crois savoir qu'il n'est pas affine...), de la notion de droite dans C2, de point à l'infini, etc...J'ai lu un article de Laguerre où il mélange tout, mais ça m'a obscurci plutôt qu'éclairé.
Bref, on sort les imaginaires de leur boite juste au moment où l'on en a besoin, mais on escamote le sujet.

Pourriez-vous m'aider à y voir clair, ou m'indiquer que le sujet est d'une telle complexité qu'il vaut mieux que je continue à fermer les yeux...

Merci de votre aide.

Amateur.

PS: je ne sais pas ce que sont les quaternions et j'ai une pratique quasi-nulle des matrices hermitiennes mais peut-être cela n'a-t-il aucun rapport ?

GaBuZoMeu · April 2018

Non, il n'y a aucun rapport avec ce que tu évoques dans ton PS.
Et pourquoi doutes-tu du fait que $\mathbb C^2$ est un plan affine sur $\mathbb C$ ?
Le rapport entre le plan affine $\mathbb C^2$ et son complété projectif $P^2(\mathbb C)$ est exactement le même que le rapport entre $\mathbb R^2$ et $P^2(\mathbb R)$. Une droite dans $\mathbb C^2$, c'est une brave droite d'équation $ax+by+c=0$ (avec $a,b,c$ complexes, bien sûr).
Si on a choisi de compléter comme ça
$$ \begin{align} \mathbb C^2& \hookrightarrow P^2(\mathbb C)\\
(x,y)&\mapsto (x:y:1)\end{align}$$
(et idem pour $\mathbb R$), alors $\mathbb C^2\cap P^2(\mathbb R) = \mathbb R^2$ bien sûr.

amateur · April 2018

merci de ta réponse diligente.
Quid de l'ajout d'une droite de l'infini à cet espace affine C2 ? Il faut utiliser la sphère de R. sur chacun des axes ?
On utilise aussi les imaginaires dans dessus jets où l'on recherche des propriétés métriques (euclidiennes).On ne parle pas de distance ni de longueurs imaginaires, mais on ne regarde jamais ce que deviennent les propriétés métriques quand les points deviennent imaginaires...elles ne disparaissent pas totalement...

GaBuZoMeu · April 2018

M'enfin ??? Je venais juste d'écrire que ça se passe exactement comme pour $\mathbb R^2$ et le plan projectif réel. La droite de l'infini pour le plongement que j'ai décrit, c'est tout bêtement la droite projective des $(x:y:0)$.
Quant au reste de ton message, c'est trop flou pour qu'on puisse répondre de façon pertinente. Essaie d'être plus clair.

amateur · April 2018

Comment introduit-on une droite de l'infini dans le plan affine C2 ?
Pour introduire un infini dans C et une distance on utilise la sphère de R. et une inversion.
Comment passer à la droite de l'infini dans C2 ?
Dans C, z/o est un complexe d'argument identique à celui de z et de module infini, tout simplement ?
DansP( C3), (x,y,o) représentera la direction Arg(x)-Arg(y) ?

GaBuZoMeu · April 2018

Tu devrais lire un livre de géométrie (par exemple, celui de M. Audin) pour avoir des notions correctes de géométrie projective. Dans ton dernier message, tu fais une bouillie assez indigeste

Dans C, z/o est un complexe d'argument identique à celui de z et de module infini, tout simplement ?

Pour passer de la droite affine $\mathbb C$ à la droite projective $P^1(\mathbb C)$, on ajoute un et un seul point à l'infini, qu'on note souvent $\infty$. C'est la même chose que sur $\mathbb R$, ou sur n'importe quel corps (par exemple un corps fini). Le point $\infty$ de $P^1(\mathbb C)$ n'a pas d'argument.

DansP( C3), (x,y,o) représentera la direction Arg(x)-Arg(y) ?

Ça n'a aucun sens. La direction de droite représentée par le point à l'infini $(x:y:0)$ est la direction de droite complexe parallèle au vecteur $(x,y)$ de $\mathbb C^2$.

PS. Un lien sur un document en ligne sur la géométrie projective. Ça date un peu parce que ce texte fait référence au programme de l'agrégation, alors qu'il n'y a maintenant plus de géométrie projective dans le programme de l'agrégation.

amateur · April 2018

Oui en effet, je fais de la bouillie.
Outre les vieux livres de Spé, je travaille avec le livre de monsieur Tisseron et celui de Monsieur Sidler et aucun des deux ne me permet de sentir ce qu'est une direction de droite complexe, encore moins de l'utiliser...
Je vais voir si le livre que tu cites est à ma portée...

GaBuZoMeu · April 2018

J'ai l'impression qu'en fait tu ne vois tout simplement pas ce qu'est une droite complexe.

amateur · April 2018

en effet, autant on a manipulé C isomorphe à R2 dans mes études, autant je n'ai jamais manipulé dans C2....Je n'insiste donc pas ici...je t'ai déjà assez fait perdre de temps...jutse une chose: quand utilise-t-on la sphère de Riemann et les calculs qui vont autour (distance) ?

GaBuZoMeu · April 2018

La sphère de Riemann est un modèle de la droite projective complexe. La projection stéréographique depuis le pôle nord est une bijection de la sphère privée du pôle nord sur $\mathbb C$. Dans ce modèle, le point à l'infini est le pôle nord.
Regarde la fin du chapitre 5 de "Dimensions".

amateur · April 2018

merci de ta patience.

P(C3)

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