Rectangles emboîtés

soland · April 2018

Je cherche à développer un critère qui fait qu'un rectangle $a\times b$
peut habiter dans un rectangle $c\times d$.

Si les quatre côtés ont plus de deux directions, je pense que la figure
donnée plus bas est pertinente.

Quelqu'un a des idées ? 74742

PierreB · April 2018

Il est "bien connu" (voir liste courte OIM 1996 pb. G6) que :
si $a<c \leq d<b$ et $ab < cd$, un rectangle de côtés $\{a,b\}$ peut être placé à l'intérieur d'un rectangle de côtés $\{c,d\}$ si et seulement si $(b^2-a^2)^2 \leq (bd-ac)^2 + (bc-ad)^2$.

D'autre part, en plus particulier, on peut aussi se reporter à l'exercice 1 du Concours Général 2011
http://www.animath.fr/IMG/pdf/concours_general2011.pdf

Pierre.

GaBuZoMeu · April 2018

Où l'on retrouve l'expression écrite par Pierre :
In

R.<u,v,a,b,c,d>=PolynomialRing(QQ,6)
C1=u^2+v^2-1
C2=((u*a-v*b)^2-c^2)*((v*a+u*b)^2-d^2)
C3=((u*a+v*b)^2-c^2)*((v*a-u*b)^2-d^2)
Icrit=R.ideal([C1,C2,C3])
P=Icrit.elimination_ideal([u,v]).gens()[0].factor()
P

Out

(-b + d) * (-b + c) * b * (b + d) * (b + c) * (-a + d) * (-a + c) * a * (a + d) * (a + c) * (-a^4 + 2*a^2*b^2 - b^4 + a^2*c^2 + b^2*c^2 - 4*a*b*c*d + a^2*d^2 + b^2*d^2) * (-a^4 + 2*a^2*b^2 - b^4 + a^2*c^2 + b^2*c^2 + 4*a*b*c*d + a^2*d^2 + b^2*d^2)

Rectangles emboîtés

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