Changement de variable sur une hypersurface

EtIlo · April 2018

Bonjour
Je suis extrêmement inculte en géométrie différentielle et m'excuse donc par avance si ma question est stupide. Voilà mon problème.

J'ai une intégrale dépendant d'un paramètre $v$ fixé, qui est de la forme $$
\begin{equation}
\int_D \phi(x + t(x,v)v) f(x) dx
\end{equation}
$$ où $D$ est un domaine borné (disons un peu plus que $C^1$ et convexe pour simplifier) de $R_n$ [$\mathbb R^n$ ? AD], et où $t(x,v) = \inf\{s > 0\mid x + sv \in \partial D\}$.
Je souhaite changer de variable pour obtenir un $\phi(y)$ (en fait c'est un calcul de densité de probabilité), où $y = x + t(x,v)v$. Donc $y$ va appartenir au bord de $D$ et quelque part, le $t(x,v)$ va devenir une espèce de coordonnée supplémentaire (c'est vraiment ce point du changement de variable non bijectif qui me pose souci).

Je ne sais pas si ce que je suis en train de calculer à une chance d'aboutir, pourtant intuitivement les choses font sens... et je m'attends à voir sortir un $n_y$ quelque part en changeant de variable, mais je n'ai rien trouvé en ce sens dans le peu du Lee que je connais.
Je suis donc preneur de tout aide,
Merci d'avance,
EtIlo

GaBuZoMeu · April 2018

Supposons $v=(0,\ldots,0,1)$. Tu peux écrire $x=(x',x_n)$ avec $x'\in \mathbb R^{n-1}$.
Soit $E=\pi(D)$ où $\pi$ est la projection $x\mapsto x'$. On a
$$D=\{(x',x_n)\mid x' \in E,\ a(x')\leq x_n\leq b(x')\}\;,$$
où $a,b : E\to \mathbb R$ sont des fonctions respectivement convexes et concaves telles que $a\leq b$.
Alors ton intégrale se réécrit
$$\int_E \phi(b(x'))\ \int_{a(x')}^{b(x')} f(x',x_n)\, dx_n\,dx'\;.$$

Changement de variable sur une hypersurface

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