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Fuite de la diagonale vs cercle inscrit

Envoyé par Swingmustard 
Fuite de la diagonale vs cercle inscrit
il y a sept mois
Bonjour,

"Le point de fuite de la diagonale d'un cube est situé au centre du cercle inscrit au triangle des points de fuite"...

... lit-on sur Wikipédia dans le paragraphe 3.3 de l'article "Perspective linéaire" [fr.wikipedia.org], paragraphe illustré avec le premier des dessins suivants.

Je tente ma chance sur le deuxième dessin (lui est de moi) : je choisis comme point de vue (= position de l'oeil de l'observateur) l'origine O d'un repère orthogonal, comme points de fuite des trois directions du cube les points A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3).
Ce qu'on appelle en perspective le plan du tableau est alors simplement le plan (ABC).

Dans ces conditions, "la" diagonale du cube fuit vers le point de coordonnées (1, 1, 1).
Cette droite coupe le plan du tableau au "point de fuite de la diagonale" que je note F(6/11, 6/11, 6/11).

Résultat des courses : non, F n'est pas du tout le centre I du cercle inscrit !

Certes le cube admet quatre diagonales, mais les divers points F correspondant aux trois autres fuites : vers (-1, 1, 1), vers (1, -1, 1) et vers (-1, -1, 1), n'arrangent rien à l'affaire.

Bref, j'aurais tendance à penser que l'affirmation est fausse.
Je ne la trouve d'ailleurs pas dans les versions anglaise, allemande ou italienne du même article.

(Quand le même paragraphe de Wikipédia dit que l'aplomb du point de vue est l'orthocentre, c'est pourtant beau et vrai !)

Merci d'avance pour toute aide dans l'une ou l'autre des directions suivantes :

a) "Le point de fuite de la diagonale a tel ou tel lien avec le triangle ABC".

b) "Reprends espoir, le centre du cercle inscrit joue tel ou tel rôle dans la perspective d'un cube".



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Swingmustard.


Re: Fuite de la diagonale vs cercle inscrit
il y a deux mois
Bonjour
Fort de la construction obligeamment transmise par soland dans le troisième message de [www.les-mathematiques.net], je réalise deux cubes.
(Je joins aussi la figure GG. Vous pouvez faire varier U le long du segment violet. (1) Vous pouvez agiter A, qui est pris sur Cercle(C,Distance(C,B)) afin que le triangle reste isocèle. (2) Puis libérer A en le redéfinissant, par exemple A=(1,6).)

1) Triangle de fuite isocèle
Certes, la diagonale fuit vers le centre $I$ du cercle inscrit, mais deux arêtes semblent contenues dans cet axe (je peux vivre avec ça). Surtout, l'axe de symétrie n'est pas que celui du triangle: c'est aussi celui de la représentation du cube, ce que je trouve restrictif. Le pire: d'autres centres (de gravité, du cercle circonscrit) peuvent autant se revendiquer point de fuite de la diagonale!

2) Triangle de fuite quelconque
La diagonale (marquée par le vecteur noir) manque $I$ carrément!

En conclusion, si $I$ n'intervient que dans un cas particulier (triangle isocèle) de cas particulier (celui où l'un des sommets du cube est projeté en l'orthocentre. La discussion mentionnée montrait que dans le cas général, on peut quand même dessiner un cube, avec mise en retrait de l'orthocentre mais rôle quand même primordial des hauteurs, qui disent où couper les demi-cercles), il n'est alors pas plus légitime que d'autres points.
Et dans le cas général, c'est la fin des haricots. Bref, faut-il se faire à l'idée que le centre du cercle inscrit n'aura pas dans cette histoire un rôle à la hauteur (ha ha) de celui de l'orthocentre?
Euh, je pose plutôt la question suivante. "Le point de fuite de la diagonale du cube" a-t-il une autre identité, connue de vous mais pas de moi?

Cordialement,
Swingmustard


Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - PFDiagonale du cube Cas isocèle.ggb (40.8 KB)
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