Construction approchée de l'heptagone régulier
Bonsoir à tous
Cette construction approchée d'un heptagone régulier à partir d'un décagone régulier est-elle connue ?
L'erreur sur la hauteur de l'heptagone est d'environ 1 %.
Bien cordialement.
JLB
Cette construction approchée d'un heptagone régulier à partir d'un décagone régulier est-elle connue ?
L'erreur sur la hauteur de l'heptagone est d'environ 1 %.
Bien cordialement.
JLB
Réponses
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Bonjour jolobreuil,
Je ne connaissais pas cette construction approximative.
Dans la même collection, en voici une autre que l'on peut trouver dans la littérature, assez difficile à mettre en oeuvre avec règle et compas.:
On trace trois cercle concentriques $\mathcal C_1; \ \mathcal C_3$ et $\mathcal C_9$ de rayons $1 ; \ 3$ et $9$, puis on construit une chaîne de segments de droites tous tangents à $\mathcal C_1$, ayant une extrémité sur $\mathcal C_3$, l'autre sur $\mathcal C_9$.
"Au final", ça se referme presque, voir le point rouge.
D'ailleurs GeoGebra permet de calibrer les rayons : pour que ça se referme mieux on pourra prendre $1 ;\ 3$ et $9,2$
Exercice : calculer l'erreur relative avec ces dernières valeurs ! -
Archiclassique et erreur minime :
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Bonjour Jacquot, bonjour Soland,
Merci de vos réponses. J'ignorais ces constructions, même celle indiquée par Soland ...
En fait, j'ai pu constater que le point de départ de ma construction, la presque coïncidence du sommet du triangle équilatéral interne au décagone et du sommet de l'heptagone opposé au côté commun, semble être général pour un couple de polygones réguliers, l'un à n côtés avec n pair et l'autre avec n-3 côtés ... Je l'avais déjà signalée ici pour n = 8 (fil intitulé "un vrai pentagone régulier ?") et je l'ai rapidement vérifié hier avec Geogebra pour n= 12, 14, 16 et 24. Je trouve cela assez curieux, n'est-ce pas ? Je vais essayer de faire les calculs d'erreur correspondants ...
Bien cordialement
JLB -
Bonjour,
la construction proposée par Soland est extrêmement simple.
Une autre construction plus précise (erreur < 2 10-4) : le cercle passant par les points (0 , 1) (0 , -0.5) et (0 , 0.8) recoupe le cercle de rayon 1 en un point donnant un angle très proche de 2 pi / 7 -
J'avoue que l'utilisation d'un logiciel capable de calculer à $10^{-12}$ près (environ) pour mimer une construction à la règle et au compas d'une construction approchée à $10^{-4}$ près, ça m'échappe. Manque d'imagination sans doute.
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Bonjour à tous,
Je me permets de soumettre à votre expertise cette construction approchée d'un heptagone régulier.
Assez simple à réaliser avec Geogebra, elle le serait moins, j'en conviens volontiers, à la règle et au compas, mais avec un peu de patience, on y arriverait, je pense ...
Merci par avance de vos commentaires, quels qu'ils soient ...
Bien cordialement
JLB
PS: sur la figure, la deuxième tangente au cercle de centre A issue de F1 (celle qui passe non loin de
ne sert à rien, j'en conviens, mais Geogebra la trace automatiquement et je ne sais pas comment n'effacer qu'elle sans effacer l'autre ...
(Merci à fm_31 de m'avoir indiqué comment faire !)
[ Il y a quatre semaines, tu avais ouvert une discussion sur le même thème. Ne vaut-il pas mieux continuer là-bas ?
Je fusionne ces deux discussions. jacquot ] -
Bonjour
on ne peut effacer une des deux tangentes que trace GeoGebra mais on peut la masquer (Afficher l'objet ou pas)
Cordialement -
Ma construction approchée commence avec les points C, Q, B tels que BC = 5 et BQ = 4 .
Je trace ensuite quatre cercles de rayons respectifs 4 et 5 centrés en B, respectivement C.
Un cercle de centre A et de rayon 5 donne les sommets X et Y sur le petit arc BC .
Je termine avec un cercle de centre A et de rayon XY .
L'erreur sur les angles est de l'ordre de 3 pour mille. -
Bonsoir à tous,
@ Jacquot : bien sûr, tu as raison ! j'avoue que je n'y avais pas du tout pensé !
@ Soland : je reste confondu devant la sublime élégance de ta construction (tu)(tu)(tu) ! Du travail de véritable pro, à côté de quoi le mien fait pâle figure* ! Merci beaucoup !
Bien amicalement
JLB
* et d'autant plus du fait des couleurs que nous avons respectivement utilisées ...;-) -
:-) J'essaie de mériter mon logo...
-
Bonjour Soland,
Tiens c'est vrai, je n'avais pas fait le rapprochement ...;-)
Pour moi, malhabile de mes doigts comme je le suis, le compas reste un instrument difficile à maîtriser (sauf avec Géogebra, bien entendu !) ...
C'est le rapport 4/5 des segments BQ et BC qui est déterminant, n'est-ce pas ? comment l'as-tu trouvé ?
Aurais-tu d'autres constructions de la même veine concernant d'autres polygones de rang impair ?
Bien cordialement
JLB -
Je note $p_i$ les sommets de l'heptagone.
Le triangle isocèle $p_0p_2p_5$ a un angle au sommet pas trop loin de 90°,
donc sa construction au compas sera précise.
La théorie des fractions continues donne $4/5$ comme une bonne
approximation de $|p_0p_2|/|p_2p_5|$. La suivante est 39/49 . -
Bonjour Soland,
Merci de ces explications !
Je n'ai pas le temps d'étudier cela pour le moment, mais j'y reviendrai très bientôt ...
Bonne journée, bien cordialement
JLB -
Bonjour
Je rappelle quand même la construction exacte de Poulbot, plus esthétique et de valeur géométrique plus grande que toute autre construction approchée!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
@pappus. On parle de constructions à la règle et au compas,
qui ne peuvent être qu'approchées.
Si l'on veut monter en puissance on autorisera l'origami,
un trisecteur ou la règle graduée, qui s'utilisent "à la main"
comme la règle ou le compas, sur papier vierge.
Cela n'enlève rien à la splendide idée de poulbot, mais il
manque le caractère principal d'une construction : l'action. -
Bonjour Soland
J'avais bien compris mais je ne pouvais laisser passer la construction de Poulbot.
En fait, nous avions parlé de cette question d'heptagone, il y a bien des années et je n'ai fait que reprendre des figures de l'époque.
En ce qui concerne les constructions approchées, la course à la précision me semble ridicule et inutile, surtout si elle conduit à des configurations compliquées. Tout ce qu'on demande, c'est une construction rapide avec une précision raisonnable.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
J'ai repris une figure de cet ancien fil, la même que la tienne. -
Bonjour
Je ne suis sûrement pas (et de très loin) le premier à avoir utilisé une hyperbole équilatère pour construire un heptagone régulier.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour
Par tâtonnements, j'ai trouvé comme équation de l'hyperbole $\quad h(x) = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\Big(1 + \dfrac{1}{4 x+3}\Big)$
Comme je n'ai pas trouvé cette équation sur internet , je me demande si c'est son équation exacte ou seulement approchée ?
Cordialement. -
On a les asymptotes et un point; cela devrait suffire.
-
Bonjour fm_31
L'hyperbole, ayant pour asymptotes $x=-\dfrac{3}{4}$ et $y=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ et passant par $\left( -1,0\right) $ a pour équation $y=-\sqrt{7}\dfrac{x+1}{4x+3}$.
Si $\omega =\exp \left( \dfrac{2i\pi }{7}\right) $, elle recoupe (exactement) le cercle unité aux points d'affixes $\omega ^{3},\omega ^{5},\omega ^{6}$.
Un exercice (assez fastidieux) consiste à chercher une construction analogue pour un polygone régulier à $13$ côtés :
par exemple (et sauf erreurs), si $\omega =\exp \left( \dfrac{2i\pi }{13}\right) $, l'hyperbole d'asymptotes $x=\dfrac{-5+\sqrt{13}}{8}$ et $y=\dfrac{\sqrt{26-6\sqrt{13}}}{8}$ passant par $\left( -1,0\right) $ recoupe le cercle unité aux points d'affixes $\omega ,\omega ^{3},\omega ^{9}$.
Une construction analogue est impossible pour $11$ côtés.
Cordialement. Poulbot -
Bonjour
J'ai retrouvé ce fil vieux de 10 ans:
Construction de l'heptagone régulier
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS. J'aimerais bien avoir accès à ce fil si c'est possible pour en rétablir les figures et le réécrire en $\LaTeX$ car à l'époque je ne savais pas l'utiliser !
[J'ai rendu visibles les figures. AD] -
Bonne nuit, Pappus et tous,
Merci d'abord à Pappus d'avoir retrouvé ce vieux fil et de l'avoir fait remonter à la surface !
En continuant à m'amuser avec Geogebra, je suis tombé ce soir (sans me faire mal, je vous rassure !) sur cette construction de l'angle de l'heptagone régulier, valeur exacte à moins de 0,01 % près :
Soient un carré ABCD, un triangle équilatéral ACE intérieur au carré, F le milieu de AD, G le milieu de AE, H le point d'intersection de BF et AE, G' le point symétrique de G par rapport à H. Alors la "quadrissectrice" de l'angle FBG' la plus voisine de FB coupe le cercle de centre A et de rayon AE en J, et l'angle JAB vaut 128,58°, soit seulement un centième de degré de plus que 5pi/7, 128,57°, l'angle aux sommets d'un heptagone régulier.
J'avoue que je n'ai pas encore essayé de justifier ce qui n'est sans doute qu'une très bonne coïncidence ...
Pour compléter un heptagone à partir des trois points J, A et B, on commence par obtenir un quatrième sommet à l'aide du symétrique du point A par rapport à BJ, en faisant passer par ce point une demi-droite issue de B, qui recoupe le cercle de centre J et de rayon AJ (égal à AE) en un point qui est le quatrième sommet. On poursuit en traçant un autre cercle de centre ce quatrième sommet et toujours de même rayon AE, qui coupe la médiatrice de AB et DE en deux points dont l'un est le cinquième sommet. Et pour finir, on obtient les sixième et septième sommets de l'heptagone comme les symétriques respectifs des troisième (J) et quatrième sommets par rapport à cette même médiatrice (sur ma figure, je n'ai tracé que les arcs de cercle utiles).
Tous les côtés de cet heptagone sont par construction égaux au côté du carré et du triangle équilatéral de départ. Quant aux angles, il y en a quatre de 128,58° et deux de 128,54° et le dernier vaut 128,62°.
Qu'en pensez-vous ?
Bien cordialement
JLB -
Merci AD d'avoir rétabli mes figures
Amicalement
[small]p[/small]appus
[À ton service. :-) AD] -
Bonsoir à tous,
Pour ceux que les problèmes de ce genre intéressent, je reviens sur ce fil avec une construction pratiquement exacte d'un heptagone régulier : tous les angles ont la "bonne" valeur, avec la précision fournie par Geogebra. L'erreur sur la tangente de 3pi/7 est inférieure à 0,005 %.
Bien cordialement
JLB -
Je trouve très compliqué.
Ton maître-atout : l'ardeur. -
Bonjour
Je ne vois pas très bien l'intérêt de ces constructions approchées surtout si elles sont compliquées.
Les seuls qui en avaient besoin devaient être sans doute les architectes avant l'arrivée des ordinateurs et de leurs logiciels.
Mais ils ne demandaient que des constructions simples à retenir et rapides à exécuter!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour à tous,
Soland, l'exactitude d'une construction n'en compense-t-elle pas un tant soit peu la complexité ?
Pappus, je comprends bien ton objection, mais je te prie d'admettre que je puisse m'intéresser à des problèmes que je suis capable de comprendre et de résoudre à mon niveau, ras du sol comparé au tien, stratosphérique ! Même si ces constructions ne servent pas à grand-chose, il me semble bon de savoir qu'elles existent, non ? Et en outre, elles donnent des valeurs approchées, avec radicaux, des fonctions circulaires de certains angles ... Personnellement, je ne boude pas mon plaisir à jouer ainsi ...
Bien amicalement
JLB -
Bonne nuit à tous
J'ai repris ces temps-ci ma marotte, la recherche de constructions approchées, le plus simples et le plus exactes possible, de polygones réguliers d'ordre impair, et il se trouve que je viens d'en trouver une, très satisfaisante à mes yeux, pour l'heptagone régulier.
Je n'ai pas pris le temps de faire les calculs de vérification, je les ferai "incessamment sous peu" ...
Bien cordialement
JLBrl -
Bonsoir à tous,
Que dites-vous de celle-ci ? Simple, et l'une des plus exactes que j'ai trouvées ...
Avec en prime une valeur approchée à 0,02 % près de la tangente de 3pi/7 : 2 + racine carrée de 17/3
Bien cordialement
JLB
Edi: et de la deuxième, plus simple, mais un peu moins exacte ? -
Bonjour à tous,
Ayant constaté, suite aux calculs effectués pour une autre construction, que la somme racar3 + racar7, qui vaut 4,37780, est une très bonne approximation, à 0,08 % près, de la valeur de tan(3pi/7), 4,38129, je vous propose la construction suivante, qui me semble assez remarquablement simple et suffisamment exacte, d'un heptagone quasi régulier, à partir d'un triangle équilatéral.
Bien cordialement
JLB -
Bonsoir
Je poste ici car je cherche un message en rapport avec l'heptagone régulier et agrandissement-réduction, niveau troisième. Je l'ai vu passer il y a moins d'un an, peut-être deux. Je n'ai pas pu le retrouver avec la fonction recherche du forum, ni avec google. Cela vous dit quelque chose ? Ou alors c'est avec un polygone régulier quelconque. -
Bonjour Ludwig,
Désolé, cela ne me dit rien ...
Bien cordialement, JLB
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