Deux katas

(1a)
On appelle ellipse $E$ de foyers $f$, $g$ et d'excentricité $e$ l'ensemble
des points $z$ du plan solution de l'équation bipolaire
$$
E : |zg,f| + |zf,g| = e^{-1}
$$
(On rappelle que $|xy,z|:=|xz|/|yz|$, une expression invariante par similitude).

(1b)
Soit ${\frak{S}}:z\mapsto z'$ une similitude. Alors $E'$ est aussi une ellipse,
et son excentricité est égale à celle de $E$.

(1c) Preuve.
Soit $z_0$ un point de $E$. Alors
$$
|z_0g,f| + |z_0f,g| = e^{-1} \quad\text{et}\quad |z_0'g',f'| + |z_0'f',g'| = e^{-1}
$$
puisque $|xy,z|$ est invariant par similitude.
$z'_0$ est donc un point de l'ellipse $F$ définie par $|zg',f'| + |zf',g'| = e^{-1}$,
c'est à dire que $E'\subset F$. L'inclusion réciproque se démontre avec ${\frak{S}}^{-1}$.


Le second kata suit.