Deux katas
(1a)
On appelle ellipse $E$ de foyers $f$, $g$ et d'excentricité $e$ l'ensemble
des points $z$ du plan solution de l'équation bipolaire
$$
E : |zg,f| + |zf,g| = e^{-1}
$$
(On rappelle que $|xy,z|:=|xz|/|yz|$, une expression invariante par similitude).
(1b)
Soit ${\frak{S}}:z\mapsto z'$ une similitude. Alors $E'$ est aussi une ellipse,
et son excentricité est égale à celle de $E$.
(1c) Preuve.
Soit $z_0$ un point de $E$. Alors
$$
|z_0g,f| + |z_0f,g| = e^{-1} \quad\text{et}\quad |z_0'g',f'| + |z_0'f',g'| = e^{-1}
$$
puisque $|xy,z|$ est invariant par similitude.
$z'_0$ est donc un point de l'ellipse $F$ définie par $|zg',f'| + |zf',g'| = e^{-1}$,
c'est à dire que $E'\subset F$. L'inclusion réciproque se démontre avec ${\frak{S}}^{-1}$.
Le second kata suit.
On appelle ellipse $E$ de foyers $f$, $g$ et d'excentricité $e$ l'ensemble
des points $z$ du plan solution de l'équation bipolaire
$$
E : |zg,f| + |zf,g| = e^{-1}
$$
(On rappelle que $|xy,z|:=|xz|/|yz|$, une expression invariante par similitude).
(1b)
Soit ${\frak{S}}:z\mapsto z'$ une similitude. Alors $E'$ est aussi une ellipse,
et son excentricité est égale à celle de $E$.
(1c) Preuve.
Soit $z_0$ un point de $E$. Alors
$$
|z_0g,f| + |z_0f,g| = e^{-1} \quad\text{et}\quad |z_0'g',f'| + |z_0'f',g'| = e^{-1}
$$
puisque $|xy,z|$ est invariant par similitude.
$z'_0$ est donc un point de l'ellipse $F$ définie par $|zg',f'| + |zf',g'| = e^{-1}$,
c'est à dire que $E'\subset F$. L'inclusion réciproque se démontre avec ${\frak{S}}^{-1}$.
Le second kata suit.
Réponses
-
Bonjour,
Qu'est-ce qu'un kata dans un contexte mathématique ? Le seul sens que je connais est celui d'un enchaînement de coups mimant un combat contre un adversaire fictif au karaté. -
(2a)
On donne les points $a(-3, 0)$, $b(0, 0)$, $c(1, 0)$, $d(3, 0)$.
(2b)
Les ovales de Descartes définis par les équations bipolaires
$$
O_1 : 5|za,c| - 3|zc,a| = 1 \quad\text{et}\quad O_2 : 3|zc,b| - |zb,c| = 5
$$sont semblables.
(2c) Indication.
Eliminer $|zb|$ entre l'équation de $O_2$ et la relation de Stewart
$$
2|zb|^2 - 3|zc|^2 + |zd|^2 = 6
$$ -
Un kata est un enchaînement de mouvements à visée didactique destiné à transmettre un ensemble de techniques.
-
L'élimination suggérée donne
$$
(5|zc|-3|zd|-|cd|)(5|zc|+3|zd|-|cd|) = 0
$$
A cause de l'inégalité triangulaire la seconde parenthèse ne s'annule jamais.
La première donne une nouvelle équation de $O_2$ que l'on compare à celle de $O_1$ :
$$
O_2 : 5|zd,c| - 3|zc,d| = 1 \qquad\qquad O_1 : 5|za,c| - 3|zc,a| = 1
$$
On envoie donc $O_1$ sur $O_2$ par une similitude qui fixe $c$ et envoie $a$ en $d$,
par exemple l'homothétie de centre c et de rapport $-1/2$.
KIAI !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres