Longueur d'un segment.

Ça, c'est la longueur du segment $[AB]$, où $A$ est le point de coordonnées $(x_i)_{1\le i\le n}$ et $B$ est le point de coordonnées $(y_i)_{1\le i\le n}$, dans l'espace $\R^n$ muni de la distance euclidienne standard.

Oui, la longueur d'un segment dépend du choix de la distance.
Il y a plusieurs distances possibles : certaines sont euclidiennes, d'autres non. Toutefois, si on parle de longueur de courbe ou de longueur de segment sans plus de précisions, on se réfère sans doute à une distance euclidienne.
Il y a plusieurs distances euclidiennes possibles. Par exemple, dans la vie courante, on sait qu'on peut changer d'unité de longueur : cela traduit le fait que si $d$ est une distance euclidienne et si $k$ est une constante strictement positive, alors $kd$ est encore une distance euclidienne. Voici une autre distance euclidienne dans $\R^2$ : $\sqrt{(x_1-y_1)^2+3(x_2-y_2)^2}$. Toutefois, si on parle de longueur sans plus de précisions, on se réfère sans doute à la distance euclidienne usuelle.

En fait, quel est le contexte ? Qu'est-ce que tu lis, qui provoque ces doutes ? On dirait qu'il te faut expliciter certaines conventions qui semblent implicites.

L'histoire se passe sans doute dans un espace affine euclidien, et la distance est la distance euclidienne.

Bonjour.


La réponse n'est-elle pas dans la question ? Si la longueur des segments est systématiquement multipliée par 2, que se passe-t-il pour la longueur de l'arc ? Calculée comme limite de sommes de longueurs de segment.

Cordialement.

Oui, forcément. Imagine que tu veuilles mesurer la longueur d'une route de Bristol à Cambridge : si tu as loué une voiture anglaise, le nombre que tu auras sera exprimé en miles ; si tu as transporté ta voiture par la Manche, il sera sans doute exprimé en kilomètres ; dans les deux cas, ce ne sera pas le même nombre.