Petit exo d'homographies

Bonjour
Voici la phrase en exergue de la série d'exercices auquel appartient celui choisi par Amateur:

N.B. Il sera commode d'utiliser un repère projectif, convenablement choisi

Je pense qu'il y a beaucoup de méthodes pour résoudre cet exercice, l'une d'entre elles consistant à composer des projectivités.
Pour ma part, je profite du défunt adjectif projectif de l'énoncé pour proposer la figure suivante.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
Soit $O=L\cap L'$ et soit $\{f:L\longmapsto L'; m\mapsto m'\}$ une application telle que la droite $mm'$ passe par un point fixe $I$.
Une telle application est appelée perspectivité de pôle $I$ de $L$ sur $L'$.
Il est clair que cette perspectivité est une homographie de $L$ sur $L'$ telle que $f(O)=O\ $.
Réciproque
Soit $f:L\longmapsto L'$ une homographie telle que $f(O)=O$.
Montrer que $f$ est une perspectivité!
Démonstration?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Amateur
Essaye au moins de démontrer la réciproque que je demande puis applique ce théorème sur les perspectivités à l'exercice du Cagnac en question!
L'homographie $A\mapsto B'$ est la composée de trois perspectivités. Il suffit donc de savoir composer trois applications!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Exactement! Deux homographies qui coïncident en trois points distincts sont égales!
Merci Gai Requin!
Maintenant il s'agit d'appliquer ce théorème sur les perspectivités à l'exercice du Cagnac!
Bonne Nuit
[small]p[/small]appus

On a donc une homographie $f^*$ entre les faisceaux de droites $O^*$ et $J^*$ telle que $\Delta\mapsto AB'$.
Soit $M=U\cap V$.
On a $f^*(OM)=IM$ donc $J\in IM$.

Bonjour
Revenons en à la figure obtenue en envoyant les points $O=D\cap D'$ et $O'=U\cap V$ à l'infini.
Cela se fait sans calculs. En fait c'est toute la droite $\Lambda=OO'$ qu'on envoie à l'infini
Si $\Pi$ est un plan projectif et si $\Lambda$ est une de ses droites, le complémentaire $\Pi\setminus \Lambda$ admet une structure naturelle de plan affine et le plan projectif $\Pi$ s'identifie naturellement au plan affine $\Pi\setminus \Lambda$ complété projectivement par la droite $\Lambda$ choisie comme droite de l'infini.
Dans notre cas de figure, c'est donc la droite $OO'$ qui est la droite de l'infini, ce qui explique que les droites $D$, $D'$, $U$, $V$ forment un parallélogramme.
La configuration ainsi obtenue est traditionnellement appelée forme réduite de la configuration projective de départ.
Prouver l'existence de cette forme réduite équivaut donc à prouver celle de la configuration projective.
L'avantage de cette méthode est que nous pouvons utiliser l'un des rares axiomes de géométrie encore provisoirement dans nos programme, à savoir l'axiome de Thalès
Par exemple:
$$\dfrac{\overline{LB}}{\overline{LA}}=\dfrac{\overline{RQ}}{\overline{RP}}=\dfrac{\overline{IS'}}{\overline{IS}}$$
L'application $A\mapsto B$ est l'homothétie de centre $L\ $ et de rapport $\dfrac{\overline{IS'}}{\overline{IS}}$.
De même l'application $B\mapsto B'$ est l'homothétie de centre $I$ et de rapport $\dfrac{\overline{IL'}}{\overline{IL}}$
Au total on passe de $A$ à $B'$ par un produit de deux homothéties, (le groupe des homothéties-translations est-il encore enseigné?).
J'arrête ma démonstration là et je vous laisse le soin de l'achever.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Amateur
Je suis curieux de te voir détailler la solution "algébrique".
Quid du conseil de Cagnac demandant de faire les calculs ans un repère projectif judicieux?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Amateur
Ta solution est d'autant plus difficile à lire que tu ne respectes pas les notations du Cagnac et que tu ne définis pas clairement les points que tu utilises.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir pappus,

Soit $\pi^*:J^*\to K^*$ l'homographie telle que $JA\mapsto KB$.
On a $\pi^*(JK)=JK$ donc $\pi^*$ est une projection d'axe $s$.
En particulier, $T=JA\cap KB\in s$.
De plus, $\pi^*(OJ)=OK$ donc $O\in s$.

Merci Gai Requin
En fait, c'est un théorème de la défunte géométrie projective
Quand on a une homographie $\{f:L\longmapsto L'; m\mapsto m'\}$, on est assuré de l'existence d'un axe d'homographie $\Delta$ tel que pour tout $(m,n)\in L^2$, alors: $mn'\cap nm'\in \Delta$.
Dans la configuration géométrique qui nous intéresse, on doit donc déterminer l'axe d'homographie de la projection de pôle $I$ envoyant $D$ sur $D'\ $.
Comment caractériser simplement l'axe d'homographie d'une projection?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bien sûr Gai Requin
Mais l'axe d'homographie de la projection de pôle $I$ envoyant $D$ sur $D'$ n'est pas une droite quelconque passant par $O=D\cap D'$.
C'est une droite bien précise!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Cette configuration figurait dans le Lebossé-Hémery de la classe de Seconde.
Nous avons décidément bien progressé dans l'Ignorance et l'Analphabétisation!

Enfin Gai Requin vînt!
Amicalement
[small]p[/small]appus