Cas dégénéré du théorème de Steiner

amateur · May 2018

Le théorème de Steiner dit que le lieu des points de rencontre des rayons homologues de deux faisceaux en homographie est une conique, passant par les centres des deux faisceaux, etc... Quand la droite qui joint les deux centres est un rayon double, le lieu est composé de la droite qui joint les deux points, et d'une droite qui lui est sécante, donc d'une conique dégénérée. Comme on dit aujourd'hui "ça fait sens", on voit bien pourquoi ces deux droites, et on les obtient par le calcul dans le plan euclidien si on a envie, en se donnant la bonne homographie (h(O)=0).

Le dual du théorème dit que la droite qui joint les points homologues de deux divisions homographiques est tangente à une conique.
Je ne vois pas ce que peut être le cas le cas dégénéré. On se donne deux droites, et la conique-enveloppe sont ces deux droites ? Dans quel cas obtient-on une droite double, un point ? Et que donne un "calcul" ?

Cela n'a pas grand intérêt pratique, mais je suis troublé par le fait que le cas dégénéré du dual soit si obscur. Je crois que j'ai déjà rencontré des différences dans les cas dégénérés entre P et P*...

Mreci de vos éclaircissements.
Amateur

pappus · May 2018

Bonsoir Amateur
On a justement étudié le cas dégénéré avec les perspectivités
En général l'ensemble des droites $mm'$ joignant le point $m\in L$ au point $m'=f(m)\in L'$, (où $f:L \mapsto L'$ est une homographie), est toujours une conique tangentielle.
C'est un peu différent que de dire que les droites $mm'$ enveloppent une conique ponctuelle.
Cette dernière phrase ne sera vraie que si et seulement si la conique tangentielle est non décomposée.
Soit $O=L\cap L'$.
La conique tangentielle sera non décomposée si et seulement si $f(O)\not=O$
Si $f(O)=O$, on a vu que $f$ est une perspectivité!
Pour $m\not=O$, la droite $mf(m)$ passe par le point $I$, pôle de la perspectivité.
Si $m=O$, la droite $Of(O)$ n'est pas définie, c'est une droite quelconque passant par $O$.
Autrement dit l'ensemble des droites $mf(m)$ est formée des droites passant par $I$ et des droites passant par $O$.
La conique tangentielle est donc décomposée en la paire de points $(O,I)$
Amicalement
[small]p[/small]appus

amateur · May 2018

Merci de ces clarifications, surtout la nuance de la conique tangentielle, sans laquelle on ne peut pas comprendre qu'on arrive à deux points !

Je me permets de refaire les énoncés complets pour savoir si c'est OK cette fois

Sens direct

Soit U et V deux points sur une droite o, centres des deux faisceaux U* et V*, qui se correspondent par une homographie: h(U*)=V*.
Si h n'est pas une perspective:
- le lieu des points de rencontre des rayons homologues est une conique propre, qui passe par U et V.
- h(UV) est la tangente en V et h-1(VU). est la tangente en U.
Si h est une perspectivité, le lieu est composé des deux droites o et i, où i est la droite où se rencontrent les rayons homologues non en perspective.

Dual

Soit u et v deux droites d'intersection O, u* et v* deux divisions qui se correspondent par une homographie H.
Si H n'est pas une perspective,
- la droite qui joint les points homologues est une conique tangentielle propre qui contient u et v. Les points de contact sont U et V.
- H(U)=O et H-1(O)=V
Si H est une perspectivité de pôle I, H(O)=O, le lieu se compose des points I et O: toutes les droites mm' con:tiennent I; la droite OH(O n'est pas définie, c'est n'importe quelle droite passant par O.

Comment appelle-t-on dans le premier cas la droite qui contient les intersections des rayons homologues en perspective ?"

Avec mes remerciements.

Cas dégénéré du théorème de Steiner

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 4