Un maximum

Bonjour
Une explication un peu calculatoire mais très élémentaire.
Si $0<t<\dfrac{\pi }{2}$, la tangente à l'ellipse en $M=\left( a\cos t,b\sin t\right) $ a pour équation $\dfrac{x}{a}\cos t+\dfrac{y}{b}\sin t=1$. Si $H$ est la projection de $O$ sur cette tangente, on a $r=OH=\dfrac{ab}{\sqrt{b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t}}$ et $HM=\sqrt{OM^{2}-OH^{2}}=\dfrac{\left( a^{2}-b^{2}\right) \sin t\cos t}{\sqrt{b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t}}$.
$HM$ est maximal quand $\tan t=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$. On a alors $HM=a-b$ et $r=\sqrt{ab}$.
Amicalement. Poulbot