Trigonométrie

Bonjour
Une autre idée: passer par les polynômes de Tchebychev mais sont ils encore enseignés et le théorème de Weierstrass, qu'est-il devenu?
On trouve presque immédiatement:
$$\sin(x).2\cos(x)(1+2\cos(x))=\cos(x)(1+2\cos(x))$$
Amicalement
[small]p[/small]appus

C'est peut etre plus simple finalement de generaliser car $S_n=\sum_{k=1}^n\sin kx$ et $C_n=\sum_{k=0}^{n-1}\cos kx$ se calculent facilement en sommant une progression geometrique, et $S_n-C_n$ se factorise de facon evidente.

C'est tres correct. Il te reste a trouver les solutions de $\sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6}$ et de $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi}{3}.$ Dans ton cours de lycee, il y a une section 'solutions de $\sin x=\sin a$ et $\cos x=
\cos b'.$

Bonjour,

C'est pas mal, mais il manque des choses.
Quesaquo $n$ ?
As-tu démontré une implication ou une équivalence ?

On écrit $\sin(x)$ comme un cosinus et on reconnaît une différence et une somme de cosinus, ce qui permet d'utiliser les formules bien connues pour $\cos a\pm\cos b$.

Non, pas du tout : il s'agit d'utiliser les formules que Wikipedia appelle formules de Simpson.

@Angélique_38 : Oui, enfin presque. Ce que tu as, c'est $\cos x\pm\sin x$. C'est une somme ou une différence. Tu veux la mettre dans une fraction donc tu veux la transformer en produit parce que dans les fractions, les produits ses simplifient ($\frac{ku}{kv}=\frac{u}{v}$) alors que .

En fait, j'ai l'impression qu'en comparant mon indication à la page Wikipedia, tu t'es laissée guider par les lettres $a$ et $b$ plutôt que par la forme des expressions. C'est dommage parce que les lettres ne signifient rien, ce qu'on appelle $a$ un jour peut très bien être appelé $p$ le lendemain ; en revanche, du jour au lendemain, une somme ne deviendra pas un produit. Bref, qu'est-ce qui ressemble plus à $\cos a+\cos b$ ?

• Réponse 1 : $\cos a\cos b$ ?
• Réponse 2 : $\cos a\sin b$ ?
• Réponse 3 : $\cos p+\cos q$ ?

Eh bien, c'est la réponse 3. En effet, dans chaque expression, remplaçons $a$ par $u$, $b$ par $v$, $p$ par $u$ et $q$ par $v$. La question devient : « qu'est-ce qui ressemble plus à $\cos u+\cos v$ ?

• Réponse 1 : $\cos u\cos v$ ?
• Réponse 2 : $\cos u\sin v$ ?
• Réponse 3 : $\cos u+\cos v$ ?

Ainsi, il faut commencer par transformer le cosinus en sinus ou l'inverse, pour avoir une différence de cosinus ou bien une différence de sinus. Alors, tu peux utiliser l'une des formules de Simpson qui transforment des sommes en produits.


@P. : Je ne connaissais pas cette règle des deux coups et elle m'étonne un peu. Pour défendre la contre-règle, je vois plutôt les lemmes comme des façons d'isoler des étapes marquantes d'une démonstration, pour mettre ensemble des arguments par types (ici je fais des estimations asymptotiques, là je transforme mon problème en un problème mieux connus / plus maniable, etc.).