Longueur maximale
dans Géométrie
Bonjour,
Quel est la borne supèrieure de l'ensemble des longueurs des courbes définies par une fonction dérivable $f$ de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telle que $f$ a au plus $m$ extrema locaux?
Conjecture: $m$.
Quel est la borne supèrieure de l'ensemble des longueurs des courbes définies par une fonction dérivable $f$ de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telle que $f$ a au plus $m$ extrema locaux?
Conjecture: $m$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
La formulation de cette conjecture est erronée... et elle est donc fausse. C’est le ´au plus’ qui ne spécifie rien. Par exemple la fonction identité n’a pas d’extrema et une longueur strictement positive. Non ?
Clair, pas clair ?
Edit : la remarque de @YvesM fournit aussi une courbe avec aucun $\max$ et de longueur bien plus grande que $1$, je soupçonne même, la longueur $2$ comme $\sup$ pour les courbes de fonctions croissantes.
Dom: pour moi ta chose a trois extremas: en $0$, en $1$, et au milieu.
Dans ce cas ce que je raconte ne fait que corroborer ce que tu dis ;-)
Je cherche un exemple pas trop compliqué d'une fonction croissante qui oscille (sans être convexe)...
Je ne suis pas d’accord. J’utilise les définitions que je connais (et c'est une restriction importante).
Tu n’as pas écrit extrema mais extrema LOCAL.
Dans ma définition, une fonction possède un extremum local en $a$ s’il existe un OUVERT contenant $a$ tel que...
Pour la fonction identité en $0$, je ne vois pas comment un OUVERT dans $[0,1]$ pourrait contenir $0$ ; je crois que $[0, 1/2[$ n’est pas un ouvert.
Ceci dit, je suis prêt à changer de définition ou à comprendre mon erreur.
@YvesM
C'est un ouvert de $[0;1]$, pour la topologie induite.
La partie délicate c'est de montrer qu'on ne peut pas dépasser $m$.
Je cherche, sans surprise : $$\displaystyle \sup_{f \in E} \int_0^1 \sqrt{1+(f ')^2}$$
Ce qui établit le cas $m=2$ (vu ma remarque précédente).
Ensuite on n'a qu'à subdiviser $[0,1]$ en $m-2$ intervalles sur lesquels $f$ est monotone.
Edit : zut je ne vois pas le rapport avec "polynome de degré m" !
Mais je ne sais pas ce qu'ils "optimisent".
Gabu: oui je suis bien d'accord (je n'avais pas capté que tu imposais que les extremas devaient être $0$ et $1$). Cela dit, est-ce que le fait d'osciller entre $0$ et $1$ $m$ fois garantit la maximalité de la longueur ?
Par contre, ce $\sup$ peut ne pas être fini, comme la "courbe" de Von Koch.
En regardant $x \mapsto x\sin (\dfrac{1}{x})$ qui est bien régulière, sauf en 0, mais continue quand même, on a aussi un problème (Edit) si on désire avoir une longueur réelle.
En effet, la continuité n'apporte aucune garantie.
Pour la démonstration de la conjecture, à toi de jouer. Je pense que c'est connu. Sans doute dans le chapitre 2 "Extremal Properties" du livre "The Chebyshev polynomials" de Theodore Rivlin, référence que j'ai piquée chez wikipedia et que je ne connais pas.