Longueur maximale

Shah d'Ock
Shah d'Ock
dans Géométrie
Bonjour,
Quel est la borne supèrieure de l'ensemble des longueurs des courbes définies par une fonction dérivable $f$ de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telle que $f$ a au plus $m$ extrema locaux?

Conjecture: $m$.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    La formulation de cette conjecture est erronée... et elle est donc fausse. C’est le ´au plus’ qui ne spécifie rien. Par exemple la fonction identité n’a pas d’extrema et une longueur strictement positive. Non ?
  • Dom
    Dom
    Pour $m=1$ déjà, j'ai envie de penser que la longueur $\sup$ est $3$ en imaginant une courbe qui "monte" de $(0,0)$ vers $(0+\varepsilon,1-\eta)$ puis quasi constante, en croissant jusqu'à $(\dfrac{1}{2},1)$ puis symétrique par rapport à $x=\dfrac{1}{2}$.

    Clair, pas clair ?

    Edit : la remarque de @YvesM fournit aussi une courbe avec aucun $\max$ et de longueur bien plus grande que $1$, je soupçonne même, la longueur $2$ comme $\sup$ pour les courbes de fonctions croissantes.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Je ne vois pas en quoi c'est erroné, une fonction constante a une infinité de maxima, donc on ne s'autorise pas les graphes de fonctions constantes.

    Dom: pour moi ta chose a trois extremas: en $0$, en $1$, et au milieu.
  • Dom
    Dom
    Ha oui, d'accord.
    Dans ce cas ce que je raconte ne fait que corroborer ce que tu dis ;-)


    Je cherche un exemple pas trop compliqué d'une fonction croissante qui oscille (sans être convexe)...
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    x+sin(x)?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je ne suis pas d’accord. J’utilise les définitions que je connais (et c'est une restriction importante).
    Tu n’as pas écrit extrema mais extrema LOCAL.
    Dans ma définition, une fonction possède un extremum local en $a$ s’il existe un OUVERT contenant $a$ tel que...
    Pour la fonction identité en $0$, je ne vois pas comment un OUVERT dans $[0,1]$ pourrait contenir $0$ ; je crois que $[0, 1/2[$ n’est pas un ouvert.
    Ceci dit, je suis prêt à changer de définition ou à comprendre mon erreur.
  • Dom
    Dom
    Nouvelle idée : en jouant sur les coefficients de $x \mapsto ax+b\sin (cx)$, (Merci @Shah D'Ock) trouver une fonction $f$ croissante telle que $f(1)=1$ (pour se fixer les idées) et tellement oscillante que la longueur de la courbe est "grande". Hum...ça doit encore être inférieur à $2$...


    @YvesM
    C'est un ouvert de $[0;1]$, pour la topologie induite.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    On peut approcher $m$ d'aussi près qu'on veut en prenant des crénaux et en arrondissant les angles.
    La partie délicate c'est de montrer qu'on ne peut pas dépasser $m$.
  • Dom
    Dom
    En effet, je reste sur le cas croissant de (0,0) à (1,1). J'appelle $E$ l'ensemble de ces fonctions, disons $C^1$.

    Je cherche, sans surprise : $$\displaystyle \sup_{f \in E} \int_0^1 \sqrt{1+(f ')^2}$$
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    $\int_0^1 \sqrt{1+f'(t)^2}dt \le \int_0^1 1+ |f'(t)|dt=1+f(1)-f(0)\le 2$
    Ce qui établit le cas $m=2$ (vu ma remarque précédente).
    Ensuite on n'a qu'à subdiviser $[0,1]$ en $m-2$ intervalles sur lesquels $f$ est monotone.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Maintenant, qu'en est-il si on remplace "$m$ extremas" par "polynôme de degré $m$" (on conserve la condition que $f$ doit être à valeur dans $[0,1]$)?
  • Dom
    Dom
    Pareil ! (tu)

    Edit : zut je ne vois pas le rapport avec "polynome de degré m" !
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Le rapport, c'est maintenant qu'on a résolu cet exercice, essayons de le rendre plus difficile.
  • Dom
    Dom
    Peux-tu énoncer la conjecture clairement ?
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Pour les polynômes, je n'ai pas de conjecture.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    S'il fallait parier, je parierais que les polynômes de Tchebychev de première espèce traficotés ($\frac12 (T_m(2x-1)+1)$) font le max.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    C'est marrant, c'est aussi ce que je pensais.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Alors, tu as une conjecture ou tu n'en as pas ?
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Je n'en ai pas, mais j'aurais effectivement parié sur les polynômes de Chebychev.
  • Dom
    Dom
    J'avais pensé à ces polynomes uniquement parce que ce sont ceux que je connais qui ont la propriété d'envoyer [0,1] dans [0,1] (oui, bon, je sais bien, on en trouve plein facilement...).

    Mais je ne sais pas ce qu'ils "optimisent".
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    On ne trouve pas tant que ça de polynômes de degré $m$ qui oscillent $m$ fois entre $0$ et $1$ sur $[0,1]$.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Quand même: on prend le produit des $X-bidule(i)$ avec $i$ entre ce qui faut et ce qui faut, et on divise par ce qui faut et on ajoute ce qui faut.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu peux préciser ? Tu prétends fabriquer comme ça des polynômes de degré $m$ qui vont $m$ fois de $0$ à $1$ ou vice-versa sur $[0,1]$ ?
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Ah non, pas de $0$ à $1$, juste ils oscillent $m$ fois.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    J'avais mal interprété "entre $0$ et $1$" dans ton message précédent en fait.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Alors, tu connais beaucoup d'autres polynômes qui font ce que je dis ?
  • mojojojo
    mojojojo
    Pour ceux que ça intéresse : si l'on supprime la condition de dérivabilité dans la première question alors la fonction de Minkowski est une fonction avec deux extrema locaux ($0$ et $1$) et sa courbe a une longueur d'exactement $2$. (ie le sup est en fait un max)
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Comment définit-on la longueur de la courbe d'une fonction non dérivable?

    Gabu: oui je suis bien d'accord (je n'avais pas capté que tu imposais que les extremas devaient être $0$ et $1$). Cela dit, est-ce que le fait d'osciller entre $0$ et $1$ $m$ fois garantit la maximalité de la longueur ?
  • Dom
    Dom
    C'est le $\sup$ pris sur les segments contigus joignant les points de la courbe (Jordan en est à l'origine).

    Par contre, ce $\sup$ peut ne pas être fini, comme la "courbe" de Von Koch.

    En regardant $x \mapsto x\sin (\dfrac{1}{x})$ qui est bien régulière, sauf en 0, mais continue quand même, on a aussi un problème (Edit) si on désire avoir une longueur réelle.

    En effet, la continuité n'apporte aucune garantie.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Comment définit-on la longueur de la courbe d'une fonction non dérivable?
    Comme borne supérieure, si elle existe, des longueurs de lignes brisées inscrites dans la courbe.

    Pour la démonstration de la conjecture, à toi de jouer. Je pense que c'est connu. Sans doute dans le chapitre 2 "Extremal Properties" du livre "The Chebyshev polynomials" de Theodore Rivlin, référence que j'ai piquée chez wikipedia et que je ne connais pas.
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