Calculer la distance PD

Si $\alpha$ est la mesure de l'angle $\hat{BAF}$, elle est aussi celle de $\hat{PAD}$ et $2\alpha$ est celle de $\hat{BAD}$.
Puisque les triangles $ABD$, $ADP$ et $ABF$ sont rectangles, on a $\cos(\alpha)=\dfrac{AD}{AP}=\dfrac{AB}{AF}$ et par conséquent $\cos(2\alpha)=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AP}{AF}=\dfrac{3}{5}$.
Finalement, $PD=AP\sin(\alpha)=AP\sqrt{\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}}=\dfrac{12}{\sqrt{5}}$.

Il y a plus simple. Puisqu'on admet depuis le début que PD ne dépend pas de la position de B, prenons B tel que BP soit une hauteur de ABP, donc PB2= 8*12=96 etc....


JE ME TROMPE, la figure semble déterminée par les deux longueurs données... comment ?

oui, oui, je voulais aller trop vite, je cherche une construction géométrique du triangle pour le moment...

Je pense qu'il faut utiliser le faisceau de sommet A et l'involution par rapport aux deux bissectrices, qu'on connaît.

Bonjour,

Le rapport au triangle $3,4,5$ est $\dfrac{8\sqrt{5}}{3}$ et comme $\sqrt{5}$ est constructible, il ne devrait pas y avoir trop de problèmes avec les damnés instruments habituels.

Cordialement,

Rescassol

Je confirme le rapport de Rescassol.

C'est vrai qu'il est sympathique, cet exercice !

Et plein de surprises : ton $BP=BF$ me paraît vrai, Poulbot, mais propre aux triangles semblables à 3, 4, 5.

Je conteste [Modif après lecture des messages suivants des camarades : je conteste à tort] donc un peu le "il suffit de remarquer". Ou une démonstration rapide m'échappe ?

Bonsoir Swingmustard
Je suis évidemment entièrement d'accord avec Rescassol, que je salue.
Puisque $\widehat{FBP}=\widehat{BAC}$, on a $\widehat{BPF}=90-\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\widehat{BFP}$.
Cordialement. Poulbot

Bon, j'essaie de répondre tout seul à mes questions.


1) Wikipédia m'aide à prétendre que cette similitude $s$ existe, et peut être vue comme la composée, par exemple, de l'homothétie de centre $C$ et de rapport $\dfrac{CB}{CA}=\dfrac{4}{5}$, avec la réflexion d'axe la bissectrice intérieure de $\widehat{C}$.

Posons $F'=s(F)$. Oui encore, $s$ transforme la bissectrice $(AF)$ en la bissectrice $(BF')$.


2) $ABC$ est rectangle en $B$, donc les bissectrices en $A$ et en $C$ forment un angle de 45°.

(J'ai gagné ça à la chasse aux angles, encore ouverte à cette heure !)

Ainsi oui, on peut invoquer $s$ pour calculer l'angle entre $(AF)$ et son image $(BF')$ par la similitude :

la réflexion inhérente à $s$ double l'angle qu'$(AF)$ forme avec son axe, d'où $\widehat{(AF),(BF')}=45°\times2=90°$ !


Merci à vous, et à moi-même.

Figure + calcul

Bonsoir Amateur,
une petite erreur dans ta ligne de démonstration : DBM et non DMB
D'autre part, pour ma preuve de la nature isocèle de PBF, j'ai préféré revenir à la figure initiale de Xylias72, sans tenir compte des développements de Poulbot et Soland ...
Bien cordialement
JLB