Trace d'un endomorphisme

alibabadu59
alibabadu59
dans Géométrie
Bonjour,
dans la résolution de cet exercice, je me demandais pourquoi on utilise la base canonique. Est-ce juste parce qu'elle nous permet d'avoir les coefficients diagonaux ? MERCI.76008

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Qu'est-ce que c'est que la trace d'un endomorphisme ?
  • alibabadu59
    alibabadu59
    la somme des termes diagonaux de la matrice associée.
  • Math Coss
    Math Coss
    « La » matrice associée ? N'as-tu jamais rencontré deux matrices différentes pour représenter le même endomorphisme ?
  • Dom
    Dom
    L'algèbre me laisse dubitatif assez souvent : cela contient des évidences à chaque ligne pour un auteur (sincère !) mais pas souvent pour moi.

    La première égalité est-elle une évidence ?
    Si oui, pourquoi ?
  • pappus
    pappus
    Bonsoir
    Ben oui, la première égalité est la définition même de la trace.
    Le seul petit problème serait peut-être d'ordonner la base (soi-disant canonique) des $E_{ij}$? Mais est-ce bien nécessaire?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • paf
    paf
    @Math Coss : la trace d'une matrice est invariante par similtude (par exemple car c'est la somme de ses valeurs propres) donc la trace d'un endomorphisme est bien définie.

    @alibabadu59 : oui mais on aurait pu utiliser une autre base, simplement le calcul aurait été plus compliqué.

    @Dom : j'ai mis un peu de temps avant de comprendre que $(f(E_{ij}))_{ij}$ est la coordonnée de $f(E_{ij})$ par rapport à $E_{ij}$ (parmi les $E_{k\ell}$) de sorte qu'il s'agit bien d'un élément diagonal de la matrice de $f$ (l'élément situé sur la ligne correspondant au couple $(i,j)$ et sur la colonne correspondant au même couple) et que, comme le dit Pappus, c'est bien la définition de la trace.
  • Dom
    Dom
    Mon cher @[small]p[/small]appus,

    Je tenais à faire remarquer qu'on "ne voit pas" que l'on calcule la somme des éléments diagonaux (la définition donnée) de la matrice qui représente $f$ dans la base canonique.
    Bien entendu sans confondre les notions : ici, la matrice de $f$ de taille $n^2$ n'est pas explicitée.

    Je le répète, chaque égalité est "un simple truc" mais je suis certain que beaucoup d'étudiants L1 ne sauraient regarder chaque égalité avec difficulté. (Ce n'est pas le débat du "niveau qui baisse", ma remarque est intemporelle).
    Et ils ne sont pas fautifs : une égalité contient tellement de choses.
    Cela me fait penser à certains "donc" (sincères, encore une fois) dans certaines démonstrations.

    @paf
    Ha ! Merci, tu confirmes ce que je dis ;-)
  • pappus
    pappus
    Bonne Nuit
    On ne parle de matrice d'un endomorphisme que dans une base ordonnée. On peut alors distinguer les éléments diagonaux des éléments non diagonaux.
    Comme je l'ai dit, la base des $E_{ij}$ n'est pas naturellement ordonnée.
    Il y a $(n^2)!$ façons de le faire, par exemple:
    $$(E_{11}, E_{12}, \dots, E_{1n};E_{21},E_{22}, \dots, E_{2n};\dots,E_{n1},\dots, E_{nn})$$
    Mais quel que soit l'ordre adopté les $(f(E_{ij}))_{ij}$ seront toujours les éléments diagonaux.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 27

BarjovrilleCongruDomMilasdedekind93gai requintotocov +20 Invités