Théorème du parallélogramme
dans Géométrie
Bonjour,
Dans le livre Algèbre et géométries de Pascal Boyer, le premier théorème du cours est celui du parallélogramme. Il s'énonce comme suit :
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine, et soient $a,b,c,d \in \mathcal{E}$ tels que $\vec{ab} = \vec{cd}$. Alors $\vec{ac} = \vec{bd}$.
La démonstration est la suivante : Par hypothèse, on a $b-a=d-c$, et donc $c-a=d-b$.
Voilà ma question, $b-a$ étant une notation pour $\vec{ab}$, qu'est ce qui nous autorise à manipuler les éléments $a,b,c,d$ à coup de plus et de moins?
Dans le livre Algèbre et géométries de Pascal Boyer, le premier théorème du cours est celui du parallélogramme. Il s'énonce comme suit :
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine, et soient $a,b,c,d \in \mathcal{E}$ tels que $\vec{ab} = \vec{cd}$. Alors $\vec{ac} = \vec{bd}$.
La démonstration est la suivante : Par hypothèse, on a $b-a=d-c$, et donc $c-a=d-b$.
Voilà ma question, $b-a$ étant une notation pour $\vec{ab}$, qu'est ce qui nous autorise à manipuler les éléments $a,b,c,d$ à coup de plus et de moins?
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Réponses
Sinon, on maths, on est libre y compris d’écrire des trucs faux ou n’importe quoi.
-- Schnoebelen, Philippe
Peut-être la définition même d'un espace affine ?
C'est un peu de la pêche à la ligne, ma question ...
Bien cordialement
JLB
Comment est défini un espace affine dans ce livre ?
Cordialement.
Pour $\Phi :\overrightarrow{\mathcal{E}} \rightarrow \mathfrak{S}_{\mathcal{E}}$, on note $\Phi(\overrightarrow{u})(a) = a + \overrightarrow{u}$. Si $b=a+\overrightarrow{u}$, on note $\overrightarrow{u}=b-a=\overrightarrow{ab}$.
Je ne pense pas qu'on ait besoin de plus pour démontrer le théorème.