Du cylindre au rectangle

gebrane · May 2018

Bonjour,
Je cherche une preuve mathématique à ce résultat :
Si on enroule étale sur un plan un cylindre droit de hauteur $h$ et de diamètre $D$, on obtient un rectangle de cotés $h$ et $\pi D$
C'est tellement évident que je ne trouve pas comment le prouver.

edit j’étais imprécis ; oui un cylindre droit reposé sur le plan $(Ox,Oy)$ qu'on le coupe suivant une verticale.

jelobreuil · May 2018

Bonjour Gebrane
Je suis d'accord, c'est évident ... à condition de prendre un cylindre DROIT ! Parce que si le cylindre ne l'est pas, si la base du cylindre n'est pas un cercle perpendiculaire à l'axe du cylindre, mais une ellipse faisant un angle alpha avec cet axe, on obtient alors, ce me semble, un parallélogramme, dont les dimensions dépendent, bien sûr, de cet angle alpha ... Ou bien me trompè-je ?
Bien cordialement
JLB

gerard0 · May 2018

Bonjour.

Une fois défini le "on étale", c'est fini.
Si tu sais que sur ton cylindre (droit), les segments de génératrice et les cercles parallèles à la base sont des géodésiques, tu définis ton "étalement" de façon à conserver les géodésiques (un isomorphisme de variétés à bords bien choisi ? une fois définie la génératrice de coupure) sauf peut-être la coupure (on devrait obtenir un rectangle privé de l'un des ses côtés).

Cordialement.

gebrane · May 2018

Merci, c'est Ok

Math Coss · May 2018

Plutôt qu'étaler un cylindre, on peut enrouler un rectangle $:\$ [\left[0,2\pi\right[\times[0,h]\to\R^3,\ (\theta,z)\mapsto (r\cos\theta,r\sin\theta,z).\]

Du cylindre au rectangle

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