Réciproque de la relation de Stewart

soland · May 2018

Si les points $A$, $B$, $C$ sont alignés dans cet ordre alors, quel que soit le point $Z$ du plan,
$BC\; ZA^2 - CA\; ZB^2 + AB\; ZC^2 - BC\; CA\; AB = 0$
Le cercle du dessin est l'ensemble des points $Z$ pour lesquels la relation
est quand même vraie, bien que $A$, $B$ et $C$ ne soient pas alignés.

Qu'est-ce que ce cercle, facilement calculable, mais que je n'arrive pas
à interpréter ? 76064

poulbot · May 2018

Bonjour Christoph
J'ai un doute avec ta figure : si $I$ et $I_{b}$ sont le centre du cercle inscrit et du cercle $B$-exinscrit de $ABC$, ton cercle devrait être le cercle de centre $I_{b}$ orthogonal au cercle de diamètre $\left[ IB\right] $.
En tout cas, il est clair, au vu des coefficients de $ZA^{2},ZB^{2},ZC^{2}$ que son centre est $\left( a:-b:c\right) =I_{b}$;
en outre, sauf erreur de ma part, son rayon devrait être $\sqrt{\dfrac{2abc}{c+a-b}}$.
Amicalement. Poulbot 76066