Démonstration de l'aire du rectangle
Bonjour,
Tout le monde sait que l'aire du rectangle est calculée par l x L avec l la longueur et L la Largeur.
Mais pourquoi ? Quelqu'un l'a-t-il un jour démontré ou est-ce un axiome depuis toujours ?
J'aimerais savoir si à l'époque d'Euclide on utilisait cette formule parce que "visiblement ça marchait à tous les coups" ou s'il existait une démonstration de cette formule.
Merci.
Tout le monde sait que l'aire du rectangle est calculée par l x L avec l la longueur et L la Largeur.
Mais pourquoi ? Quelqu'un l'a-t-il un jour démontré ou est-ce un axiome depuis toujours ?
J'aimerais savoir si à l'époque d'Euclide on utilisait cette formule parce que "visiblement ça marchait à tous les coups" ou s'il existait une démonstration de cette formule.
Merci.
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Réponses
A priori, ce n'est pas un axiome, mais plutôt une définition de ce qu'on appelle aire. A petit niveau c'est l'une des définitions possibles (on ramène les calculs d'autres aires à celle d'un triangle rectangle, avec l'axiome que l'aire est conservée par les isométries). A haut niveau, les définitions de l'aire s'y ramènent en fait par l'intermédiaire de la notion d'intégrale.
J'aimerais bien savoir ce que tu appelles "visiblement ça marchait à tous les coups", à l'époque d'Euclide.
Cordialement.
Ce qui m'intéresse c'est le début de l'histoire des mathématiques.
J'aimerais savoir si les premiers mathématiciens ont seulement "observé" que avec une longueur de 3 et une largeur de 2 ça donnait une aire de 6 (en remplissant le rectangle par 6 petits carrés de côté 1), que avec une longueur de 5 et une largeur de 3 ça donnait une aire de 15 et ainsi de suite... et que par conséquent la formule de l'aire du rectangle c'était l x L.
Ou si ils avaient démontré par un quelconque procédé que c'était toujours le cas quelles que soient les grandeurs utilisées.
Merci
$$
\mathrm{Aire}(A\cup
$$
et du coup on en déduit l'aire d'un triangle avec la construction "habituelle" : en découpant un rectangle $L\times h$ en deux triangles de même aire.
on déduit bien l'aire du triangle de celle du rectangle. C'est quand même plus logique. C'était donc une typo de ma part, je rectifie.
La notion d'aire est apparue bien avant les mathématiques, et Euclide la traite comme une notion première. Quant à ce que faisaient les " premiers mathématiciens", on ne sait pas, on n'a pas leurs travaux. Mais la mesure des aires a déjà quelques bons millénaires.
Et pour ce que tu appelles "démontrer", ça n'a pas trop de sens. Pour démontrer quelque chose sur les aires, il faut bien en avoir une définition. Elle sortirait d'où ?
Cordialement.
"L'aire S d'une surface plane suit quatre propriétés :
1- L'aire d'une surface plane bornée est un nombre positif ou nul.
2- Une unité de longueur étant choisie, l'aire du carré de côté 1 est égale à 1.
3- L'aire est additive. Cela signifie que, les aires de deux surfaces disjointes A et B étant données, l'aire de leur union est la somme de leurs aires : S(A U
4- L'aire est invariante par isométrie. Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie son aire."
@Gerard0 : Selon vous, la formule du rectangle est une définition possible de l'aire elle-même, je vois le lien avec la propriété n°2, mais inclure cette formule dans la définition même de l'aire cela revient à en faire un axiome vous n'êtes pas d'accord ?
@Lucas : S(A U
Merci
peut-être qu'une autre façon de mesurer les aires serait éclairant pour prendre conscience que c'est bien la définition de la mesure qui est en question. Les axiomes sont ce que doivent, du moins ce qu'on attend que vérifient ces mesures.
Cette définition dans ce lienne vérifie pas l'axiome lié à l'invariance par isométrie.
S
On choisit l'intérieur d'un carré comme unité d'aire. Et tant pis si on ne définit pas ce qu'est intérieur et aire.
On quadrille le plan avec ces carrés, comme une feuille d'écolier.
Maintenant, sur les traits du quadrillage, on trace un rectangle.
Alors, on se demande combien de petits carrés on a dans ce rectangle.
Vous m'avez vu venir depuis le début : il suffit de multiplier le nombre de carrés disposés sur la longueur par le nombre de carrés disposés sur la largeur.
Si on ne vise pas sur le quadrillage, on peut viser sur un des dixièmes, ou un des centièmes, etc.
On étend la formule $L\times \ell$ aux longueurs décimales.
C'était naïf, mais je veux croire que l'on part bien du rectangle en comptant ce qu'il y a dedans (en mode "discret").
Mais le problème c'est que, même si c'est juste, ce raisonnement n'est pas une démonstration.. :-S
@samok "C'est bien la définition de la mesure qui est en question. Les axiomes sont ce que doivent, du moins ce qu'on attend que vérifient ces mesures" Oui seulement ça me laisse perplexe que nous basions toute notre géométrie depuis 2000 ans sur une formule qui n'est qu'un axiome et n'a jamais été démontré... Car la majorité des formules d'aires géométriques découlent de cette formule de l'aire du rectangle :-S
Edit : je me suis trop avancé. Les quatre propriétés suffisent avec une méthode d'exhaustion. Ce que je voulais dire, en fait, c'est qu'elles suffisent sans exhaustion (uniquement avec des découpages finis) si l'on sait que l'are d'un carré de côté $\lambda$ est $\lambda^2$.
prends la définition de wikipédia (*) et démontre que pour tout rectangle du plan, son aire est longueur fois largeur. Maintenant que tu as donné une définition, tu peux démontrer (**). Tu vas vite voir que tu utilises beaucoup de propriétés des nombres réels et de leurs liens avec la géométrie euclidienne.
Dans ce cadre, la réponse à ta question initiale "Quelqu'un l'a-t-il un jour démontré ?" est "oui, tous ceux qui ont voulu".
Par contre ta phrase "c'est exactement comme ça que j'imagine que les premiers mathématiciens en sont arrivés à conclure que Aire rectangle = l x L " est amusante : Tu imagines, sans connaître. Les premiers textes sur ce sujet datent d'il y a 2300 ans environ, et ne procèdent pas comme ça, ils ne manipulent même pas la notion de nombre comme tu le fais (à cause des irrationnels, qui leur posent problème).
Cordialement.
(*) tu noteras qu'il utilisent lxL pour l'aire d'un rectangle de base : Le carré de côté 1.
(**) essaie déjà pour un carré de côté $\sqrt 2$ (donc d'aire 2)
Il y a confusion entre raisonnement par induction et démonstration. Tout ce qui existe pour justifier la formule ce sont des raisonnements qui disent en gros : si il y a x unités sur la longueur et y unités sur la largeur alors alors l'aire du rectangle sera x * y unité²
--> Cela constitue un raisonnement par induction mais pas une démonstration.
Soit tu ne nous crois pas, et on se demande pourquoi tu poses la question, soit tu veux une preuve, et tu t'y mets. Moi, je peux aider, mais je n'ai pas besoin de cette preuve.
Et pour cette preuve, un schéma est le suivant :
On démontre la propriété par récurrence pour les rectangles 1xn, puis mxn.
On démontre pour le rectangle 0,5x1, puis on généralise aux rectangles lxL pour l et L rationnels de dénominateur 2n.
Enfin, comme le suggère GaBuZoMeu, on procède par exhaustion pour l irrationnel, puis L et l irrationnels.
Je suppose que tu connais bien la géométrie d'Euclide.
Bon travail personnel !
Ce dont j'ai besoin c'est de trouver un site officiel ou un livre de mathématiques où se trouve cette démonstration de l'aire du rectangle car personnellement j'ai cherché longtemps sur google et dans des manuels scolaires et je n'ai jamais trouvé cette démonstration.
Si quelqu'un a déjà vu cette démonstration quelque part je lui en serai vraiment très reconnaissant,
Cordialement.
On donne un rectangle R dont on voudrait calculer l'aire $s$.
Si on accole deux tels rectangles, on obtient un rectangle d'aire double.
Si on en accole trois l'aire triple. Si on le découpe en neuf rectangles identiques (isométriques pour le prof),
c'est à dire si on le découpe en frites l'aire de chaque frite est le neuvième de l'original. Fines, les frites.
...
...
$s$ est proportionnelle à la longueur de R
et aussi à sa largeur !
Les dimensions $a$ et $b$ du rectangle sont mesurées en mètre, $[m]$, au milli-poil près.
L'aire de R est une fonction de $a$ et $b$ notée $s(a\times 1[m], b\times 1[m])$.
On a donc mis en proportion la longueur de R au mètre étalon et trouvé que le rapport est $a$.
Idem pour la largeur $b$.
Comme l'aire $s$ est proportionnelle à $a$ et $b$ on a (c'est la définition de la proportionnalité)
$$
(*)\quad s(a\times 1[m], b\times 1[m]) = a\times s(1\times[m], b\times 1[m])= a\times b\times s(1\times [m], 1\times [m])
$$
On voit apparaître le facteur $s(1\times [m], 1\times [m])$ qui est l'aire d'un carré de côté $1\times[m]$.
En continuant le petit jeu des mises en évidence $(*)$ donne
$$
(**)\quad s(a\times 1[m], b\times 1[m]) = ab\times s(1, 1)[m]^2
$$
Ici $s(1,1)$ est, en $[m]^2$, la mesure en $[m]^2$ de l'aire du carré de côté $1[m]$,
aire que l'on décide naturellement de choisir comme unité d'aire en posant $s(1,1):=1$.
On ne peut guère aller plus loin à petit niveau.
Quelqu'un a une aspirine ?
À noter : la définition axiomatique de wikipédia ne permet a priori pas de montrer que l'aire d'un rectangle à coordonnées irrationnelles existe ni qu'une fonction d'aire existe d'ailleurs. Cela permet juste de montrer que si l'aire existe alors elle est égale à $l\cdot L$.
https://www.amazon.fr/Mathematical-Gift-III-Interplay-Functions/dp/0821832840/ref=sr_1_fkmr0_1?ie=UTF8&qid=1526422475&sr=8-1-fkmr0&keywords=Mathematical+Gift,+volume+III,+Shiga+et+Sunada
En géométrie tout est prouvé et démontré, sauf les axiomes. Le principe : on part des axiomes et on démontre les théorèmes l'un après l'autre. Si on a prouvé un théorème, on peut l'utiliser pour démontrer les autres théorèmes.
Pour démontrer la formule de l'aire d'un rectangle, il faut démontrer la formule d'aire d'un carré. Le plus simple est partir de la définition d'une unité d'aire (vous trouverez la démonstration sur l'internet).
Supposons que la formule d'aire d'un carré est démontrée: aire d'un carré est égal à la longueur d'un côté au carré.
Supposons aussi qu'on avait démontré l'additivité des aires.
Théorème: l'aire d'un rectangle est égale au produit des longueurs des côtés adjacents
Démonstration (c'est beaucoup plus court avec le dessin):
Introduction/Construction/Dessin:
Soit $ABCD$ est un rectangle quelconque. $AB$ mesure $l$ unités. Le côté adjacent, $AD$, mesure $L$ unités.
Prolongeons la droite $AB$ jusqu'à $E$ en ajoutant $L$ unités de sorte que le point $B$ soit entre $A$ et $E$ => $AE=l+L$.
Prolongeons la droite $AD$ jusqu'à $F$ en ajoutant $l$ unités de sorte que le point $D$ soit entre $A$ et $F$ => $AF = L+l$.
Comme $ABCD$ est un rectangle, $AE$ est perpendiculaire à $AF$ et en plus ils sont de même longueur => on peut construire un carré $AELF$ dont la longueur de chaque côté est égale à $L+l$.
Prolongeons la droite $BC$ de sorte qu'elle coupe $LF$ en point $M$. Le quadrilatère $CMDF$ est un carré puisque tous les angles sont droits et $CD=DF=l$ d'après l'énoncé et par construction.
Prolongeons la droite $DC$ de sorte qu'elle coupe $EL$ en point $K$. Le quadrilatère $BEKC$ est un carré puisque tous les angles sont droits et $EB=BC=L$ d'après l'énoncé et par construction. Le quadrilatère $CKLM$ est un rectangle parce que tous les angles sont droits par construction. Par ailleurs le rectangle $CKLM$ est égale au rectangle $ABCD$ parce que les côtés adjacents $CM$ et $CK$ sont égale à $l$ et $L$ respectivement par construction.
Preuve:
Le carré $AELF$ est composé de deux carrés ($BEKC$ et $CDFM$) et de deux rectangles ($ABCD$ et $CKLM$).
L'aire d'une figure est égale à la somme des aires des figures qui la composent:
$AELF = BEKC + CDFM + ABCD + CKLM$
Sachant que :
$S_{AELF} = (l+L)^2 = l^2 + 2lL + L^2 $
$S_{BEKC} = L^2 $
$S_{CDFM} = l^2 $
On en déduit :
$l^2 + 2lL + L^2 = L^2 + l^2 +S_{ABCD} +S_{CKLM}$
Comme les rectangles $ABCD$ et $CKLM$ sont égaux, leur aire l'est aussi :
$l^2 + 2lL + L^2 = L^2 + l^2 +2 \times S_{ABCD} $
On en déduit que l'aire de $ABCD$ est égal à:
$ 2lL =2 \times S_{ABCD} $
$S_{ABCD} = lL $
Théorème est démontré.
PS : on peut démontrer l'aire d'un carré et d'un rectangle en utilisant l'intégrale, mais je trouve que ce n'est pas logique. De même, on peut démontrer les formules de volume en utilisant l'intégrale.
Tu ne manques pas d'air, pourrais tu nous démontrer l'air de rien ?
Cordialement,
Rescassol
Pour rendre ta preuve opérationnelle, tu dois admettre
(1) que l'aire est additive pour des polygones d'intérieurs disjoints,
(2) que l'aire de n'importe quel carré est égale au carré de la longueur de son côté.
Ceci admis, ta preuve est correcte.
(1) et (2) ne sont généralement pas pris comme axiomes mais prouvés à la sueur du front.
Le terrain est miné, il existe des parties du plan auxquelles il est impossible d'attribuer une aire;
j'en passe, et des meilleures.
P.S. Aire s'écrit aire.
Bonne suite.
Je viens de regarder dans mes anciens manuels de géométries (équivalant 4ieme, 3ieme, Seconde). Les aires sont enseignés en Seconde, deuxième moitié de l'année. L'un des manuels définit l'aire en utilisant le carré unitaire + (1) + (2) sans démontrer. L'autre manuel parle du carré unitaire et démontre (1) et (2), mais précise que la démonstration est hors programme et ne sera pas demandée aux élèves.
En France, les élèves ne démontrent pas les théorèmes à l'école?
Merci, je vais corriger.
@vorobichek : gabuzomeuh a déjà indiqué que si l'on admet que l'aire d'un carré de côté de longueur $\lambda$ est $\lambda^2$ l'aire du rectangle s'en déduit par découpages finis, sans exhaustions. Je ne suis pas medium mais il avait probablement ta démonstration en tête. Sauf erreur de ma part la démonstration de ton (2) se fait par exhaustion (au moins pour les carrés de côté irrationnels), ce qui revient à la même chose que ce qui est écrit dans le lien que j'ai donné.
@Eric : Merci pour le livre j'essaierai de le trouver pour regarder si ils ont une démonstration sans axiome.
@mojojojo : "La définition axiomatique de wikipédia ne permet pas de montrer que l'aire d'un rectangle à coordonnées irrationnelles existe" C'est bien là le problème
@Soland : Merci pour cette démonstration par prolongation du carré, mais elle part de l'axiome que l'aire du carré est égale à côté x côté. Mais étant donné que le carré est un rectangle quelconque ça ne résout pas le problème de l'axiome initialement non-démontré. Ce que je cherche c'est la démonstration initiale sans axiome.
@vorobichek : De même que pour Soland, c'est une démonstration certes correcte, mais elle utilise la prolongation du carré dont la formule de l'aire est admise par axiome et donc non-démontré.
Dans ma question initiale j'aurais pu demander la démonstration de la formule de l'aire du carré ou celle de l'aire du rectangle. Ce qui est important c'est d'avoir une démonstration sans axiome.
Car démontrer la formule du rectangle en prenant comme axiome la formule du carré et démontrer la formule du carré en prenant comme axiome la formule du rectangle ça ne démontre rien dans l'absolu car c'est le serpent qui se mord la queue.
La question est de savoir lesquels.
Chercher une preuve sans axiomes et une entreprise vouée à l'échec.
Maintenant si tu changes ta question et demandes en plus la démonstration de l'existence (et l'unicité...) d'une fonctions satisfaisant les propriétés données par wikipédia c'est une autre paire de manches. Mais tu devrais sûrement d’abord clarifier certaines choses dans ton esprit avant, comme l'a fait remarquer soland une démonstration mathématique repose toujours sur des axiomes.