Hyperbole et complexes

neeyz1
neeyz1
dans Géométrie
Bonjour tout le monde j'espère que vous allez bien ! J'ai un petit problème avec la question suivante.

Soit l'ensemble H={M(x,y) | y=1/x} et on a (H')=F(H) , z'=(x-1/x)+i(x+1/x -1)

Montrer que (H') est une hyperbole, je ne sais pas trop comment faire :c
Si vous pouvez m'aider merci.

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si l’affixe est $Z=a+i b$ avec $a,b$ réels, alors les points dans le plan complexe associés à ces affixes forment une hyperbole si $b$ est une fonction hyperbolique de $a$... non ?
    Note $Y$ l’ordonnée et $X$ l’abscisse d’un point de $H’$ et trouve $Y$ selon $X$...
  • neeyz1
    neeyz1
    oui on a donc z de H est une hyperbole , et on a X=x-1/x et Y=x+1/x -1 mais je ne sais pas quoi faire après :(
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Tu as une courbe sous forme paramétrée. Tu peux éliminer le paramètre... cherche un peu. Que vaut $X$ selon $x$ ? Et que vaut $x$ selon $X$ ?
    Ou alors : quelle est la forme que tu cherches entre $Y$ et $X$ ? Ne peux tu pas déterminer les paramètres d’une telle forme ?
  • neeyz1
    neeyz1
    J'ai dit ce que vaut X selon x, ça vaut x-1/x, et je ne peux pas vraiment déterminer ce que vaut x selon X, je dois trouver Y=X+.../X+... Ça peut même être X² mais je ne sais pas comment faire :c
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si tu fais dans l’approximatif et le fumeux, tu ne trouveras que rarement. Quelle est l’équation d’une hyperbole ? Regarde-la bien. Puis tu trouves.
    Cherche au moins 30 minutes avant de répondre que tu ne vois pas.
  • neeyz1
    neeyz1
    je ne sais pas tropp c'est quoi l'équation d'une hyperbole je suis perdu sur google , et on ne l'a pas vraiment fait dans notre cours , :( ça fait 40 min que je cherche dans cette exercice et toujours aucun résultat
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir neeyz1,
    As-tu vraiment besoin de Google, et pour trouver quoi ? Tu n'as pas encore compris que chercher un truc très précis dans Google, c'est comme chercher une aiguille dans une botte de foin ?
    Yves M t'a indiqué la marche à suivre, tu as bien commencé, mais tu t'es arrêté au milieu du gué !
    Tu as écrit que X = (x-1)/x, et tu n'as vraiment pas appris comment manipuler cette égalité pour en tirer x en fonction de X ? C'est pourtant un calcul très simple ! Tu n'aurais plus ensuite qu'à reporter cette expression de x dans celle de Y en fonction de x, que tu as aussi écrite correctement, d'ailleurs ...
    Tu vois, tu n'es pas loin de la solution ... encore un peu de calcul, et tu y arrives !
    Bien cordialement
    JLB
  • neeyz1
    neeyz1
    oui je sais que je dois trouver x en fonction de X mais ce n'est pas facile et d'ailleurs on s'est mal compris :c c'est x-(1/x) pas (x-1)/x :/
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Là, je le reconnais, c'est nettement plus compliqué !
    Il faut donc se servir de la donnée y = 1/x, et je viens d'y penser : pourquoi ne pas essayer d'exprimer chacun des X et Y en fonction à la fois de x et de y ? C'est peut-être une piste intéressante ...
    Bien cordialement
    JLB
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Indication : calculer $X^2$ et $Y^2$.
  • neeyz1
    neeyz1
    je dois trouver Y² en fonction de X² ? , car j'ai calculé X² et Y² , et ça ne change pas vraiment trop du cas de X , et Y :(
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Que trouves tu pour X^2 et Y^2 ?
  • neeyz1
    neeyz1
    X²=x²-2+(1/x²) et Y²=x²+2+(1/x²)-2x-(2/x)+1
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    C’edt Sur que tu ne vois vraiment rien sur cet exercice.
    Calcule $X^2$.
    Calcule $(Y+1)^2$
    Élimine $x$ pour trouver une relation entre $(Y+1)^2$ et $X^2$.
    Cherche dans wiki l’équation d’une hyperbole.
    Trouve alors que c’est bien une hyperbole et donne ces caractéristiques. Trace la.
    Relis la question initiale. Refais tous les calculs de tête.
  • neeyz1
    neeyz1
    la j'ai (Y+1)²-X²=4 , donc je dois faire ensuite (Y+1)²/4 -X²/4 = 1 c'est ça l'équation finale ?
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Je crois qu'il y a plus simple :
    En se servant de y = 1/x, écrire X et Y en fonction de x et y, puis calculer X+Y et X-Y : on tombe sur des expressions très simples, qui permettent de réécrire x et y en fonction de X et Y, et en réinjectant ces expressions dans l'égalité y = 1/x, on trouve une certaine équation en X2 et Y2 ...
    Je parie que c'est la même !
    Bien cordialement
    JLB

    Effectivement, c'est bien la même !
  • neeyz1
    neeyz1
    merci tout le monde
  • Lake
    Lake
    Bonsoir,

    Je vois dans l'énoncé initial des complexes, des coordonnées cartésiennes...

    Tout porte à croire que la transformation d'écriture complexe $z'=(1+i)z-i$, c'est-à-dire la similitude directe de centre d'affixe $1$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\tfrac{\pi}{4}$, a son mot à dire. Je pense que neeyz1 a "remanié" son énoncé...

    Reste à savoir quelle est l'image d'une hyperbole par une similitude.
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