Recherche d'une démonstration.

Bonjour
Ce que vous dites est déjà visiblement faux pour $n=2$.
Essayez plutôt avec $1+\dfrac{n\left( n+1\right) }{2}$ parties (en supposant les droites en position générale).

Cordialement. Poulbot

Bonjour Anas,
C'est un peu délicat ... d'abord, qu'est-ce que tu entends par "parties" de plan ?
D'après ce que je comprends par ce terme :
1) à vue de nez, cela n'est vrai que quand les n droites sont toutes parallèles à une même direction ! Et dans ce cas, la démonstration est triviale, faisant appel à des notions qu'on voyait de mon temps (il y a quelque 60 ans) en primaire, à savoir le dénombrement d'intervalles ...
2) rien que deux droites concourantes délimitent déjà quatre régions de leur plan, il me semble ... non ? Et trois droites concourantes en définissent six si elles le sont en un seul et même point, mais sept si elles le sont deux à deux en formant un triangle ...
Tu vois que les choses ne sont pas si simples !
Cordialement
JLB
Ceci est une réponse à ton premier message, évidemment ...

@ Rescassol : sans doute "sans dessin" ... n'est-ce pas, Anas ?
JLB