Inégalité triangulaire 3D

L'inégalité triangulaire plane complète est
$$
||AB| - |BC|| \leq |AC| \leq |AB| + |BC|
$$
En dimension 3 on a
$$
0 \leq |ABC| \leq |ABD| + |BCD| + |CAD|
$$
où $|XYZ| = \text{aire}(XYZ)$
A droite on raisonne avec des projections orthogonales et divers cosinus,
mais à gauche peut-on remplacer 0 par quelque chose de plus substantiel ?