Décomposition d'une matrice orthogonale

Bonne Nuit
Je suis dans le quatrième âge et je ne sais toujours pas la définition d'une matrice orthonormale!
Peux-tu nous la rappeler?
D'autre part tu veux composer des symétries axiales avec des translations!
Cela s'appelle faire de la géométrie affine.
Est-ce vraiment cette géométrie que tu as dans la tête?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
Je pense que tu veux parler de matrices orthogonales, est-ce le cas?
Une symétrie axiale est un retournement ou un demi-tour.
Peux-tu maintenant proposer un énoncé cohérent?
Amicalement
[small]p[/small]appus

De deux choses l'une :
- ou bien cette matrice est une matrice de rotation, et alors tu as immédiatement ce que tu cherches.
- ou bien cette matrice n'est pas une matrice de rotation, et alors tu ne pourras jamais l'écrire comme produit de matrices de rotation (tout simplement parce qu'un produit de matrices de rotation est une matrice de rotation).

Si tu veux des réponses pertinentes, fais l'effort de bien spécifier ton problème, et en utilisant la terminologie correcte.

Quand je parle de vecteur associé à la matrice antisymétrique :
la matrice (M-tM) est de la forme :
$\begin{array}{ccc}
0 & -c & b\\
c & 0 & -a\\
-b & a & 0
\end{array}$

Il s'agit du vecteur de coordonnées a,b,c

Paramétrisation de Cayley des matrices de rotation.

Soit $U=\begin{pmatrix} 0 & -w & v\\ w & 0 & -u\\ -v & u & 0 \end{pmatrix}$ une matrice antisymétrique.

Puisque $1$ n'est pas valeur propre de $U$, $I-U$ est inversible. La matrice $R=(I+U)(I-U)^{-1}$ est une matrice de rotation
\begin{equation}R(u,v,w)=\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}
1+u^2-v^2-w^2 & 2(u\,v- w) & 2(u\,w+v) \\
2(u\,v+w) & 1-u^2+v^2-w^2 & 2(v\,w-u) \\
2(u\,w-v) & 2(v\,w+u) & 1-u^2-v^2+w^2
\end{pmatrix}\;,\end{equation}
où $\Delta=1+u^ 2+v^ 2+w^ 2$. Si le vecteur $(u, v, w)^{\mathsf T}$ n'est pas nul, il dirige l'axe de la rotation $R$. La tangente de l'angle moitié de la rotation (quand l'axe est orienté par le vecteur $(u, v, w)^{\mathsf T}$) est $\sqrt{\Delta-1}$. La paramétrisation de Cayley donne une paramétrisation rationnelle de toutes les matrices de rotation, excepté les demi-tours. Ces demi-tours s'obtiennent comme limite lorsque $u^ 2+v^ 2+w^ 2$ tend vers l'infini.

On peut retrouver rationnellement $u,v,w$ à partir de la matrice de rotation $R(u,v,w)$. En effet
\begin{equation}u=\frac{R_{3,2}-R_{2,3}}{1+\mathrm{tr}(R)},\
v=\frac{R_{1,3}-R_{3,1}}{1+\mathrm{tr}(R)},\
w=\frac{R_{2,1}-R_{1,2}}{1+\mathrm{tr}(R)}\;,\end{equation}
où $\mathrm{tr}(R)=R_{1,1}+R_{2,2}+R_{3,3}$. Le vecteur $(u,v,w)^{\mathsf T}$ dirige et oriente l'axe de rotation, l'angle de rotation est $2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{3-\mathrm{tr}(R)}{1+\mathrm{tr}(R)}}\right)=\arccos\left(\dfrac12(\mathrm{tr}(R)-1)\right)$.

Ceci bien sûr ne s'applique que quand $1+\mathrm{tr}(R)\neq0$, c.-à-d. quand $R$ n'est pas une matrice de demi-tour. Si $R$ est une matrice de demi-tour, un vecteur directeur de l'axe de ce demi-tour se récupère par l'une des formules $(1+R_{1,1},R_{1,2},R_{1,3})^{\mathsf T}$, $(R_{2,1}, 1+R_{2,2}, R_{2,3})^{\mathsf T}$ ou $(R_{3,1},R_{3,2},1+R_{3,3})^{\mathsf T}$.

Remarque : Saturne évoquait les quaternions. Le quaternion $1+u\mathbf i+v\mathbf j+w\mathbf k$ donne la matrice de rotation $R(u,v,w)$.