Encore des rotations !

Bonjour,

J'essaie un raisonnement :
(i) Soit les quatre points sont non tous distincts deux à deux,
Si $A=B, C\neq D$, le problème est sans solution
Si $A=B, C=D$, le problème admet comme unique solution la rotation triviale, l'identité
Si $A=C, B\neq D$, le problème n'admet pas de solution
Si $A=C, B=D$, le problème admet comme solution toutes rotations transformant A en B

(ii) Soit les quatre points sont tous distincts deux à deux,
Alors, si une telle rotation existe, elle admet nécessairement pour centre l'intersection $O$ des médiatrices de $[AB]$ et de $[CD]$. Il est nécessaire qu'elle existe, ce qui impose : $(AB)$ non parallèle à $(CD)$.
De plus, $OAB$ et $OCD$ sont semblables, on obtient l'un de l'autre par la composée d'une rotation et d'une homothétie de centre $O$, de rapport $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$.
Réciproquement, s'il existe un point $O$ tel que : $OA \times OD = OC \times OB$, les triangles isocèles en question sont semblables, donc on mêmes angles au sommet, qui est l'argument de la rotation. Il y a tout de même un manque d'information : on doit caractériser le "placement" des points pour l'orientation des deux angles, qui doit être identique (à moins qu'on s'autorise à échanger C et D).

Conclusion : une cns à l'existence d'une solution est { ($A=B, C=D$) ou $(A=C,B=D)$ ou (il existe $O$ tel que $OA \times OD = OC \times OB$) }
Les deux premières conditions sont incluses dans la dernière, qui reste donc seule cns.
Reste à mieux exploiter l'égalité des produits de longueurs ??

Bonjour
Christoph wrote "Reste le cas 3D".
Un réponse partielle.

Comme le disait Horza, la condition $\Big\Vert \overrightarrow{AC}\Big\Vert =\Big\Vert \overrightarrow{BD}\Big\Vert $ est nécessaire.
Si, de plus, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires, les plans médiateurs de $\left[ AB\right] $ et $\left[ CD\right] $ ont une droite commune $\Delta $ et il existe une rotation d'axe $\Delta $ qui transforme $A$ en $B$ et $C$ et $D$.

Reste à examiner le cas où $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}$ sont liés et $\Big\Vert \overrightarrow{AC}\Big\Vert =\Big\Vert \overrightarrow{BD}\Big\Vert $.

Amicalement. Poulbot

OK Soland, ça me paraît effectivement naturel de considérer les translations comme des rotations.

Je dirais que le cas 3d se ramène au cas 2d par projection orthogonale $\pi$ sur un plan $P$ parallèle aux droites $(AB)$ et $(CD)$. Si $AC=BD$, alors $\pi(A)\pi(C)= \pi(B)\pi(D)$. Si on trouve une translation dans $P$ qui amène $\pi(A)$ sur $\pi(B)$ et $\pi(C)$ sur $\pi(D)$, on la remonte sans problème en un translation de l'espace qui amène $A$ sur $B$ et $C$ sur $D$. Si on trouve une rotation dans $P$, elle s'étend sans problème en une rotation de l'espace d'axe orthogonal à $P$ qui fait le boulot.