Un nombre positif

Bouzar · May 2018

Bonsoir
Je propose ce petit problème.

Soit $ABC$ un triangle, $m_A, m_B, m_C$ les mesures des médianes, $R$ le rayon du cercle circonscrit.
Déterminer la valeur de $\dfrac{m_A^2+m_B^2+m_C^2}{R^2(\sin^2(A)+\sin^2(B)+\sin^2(C))}.$
Source : Training math olympiads.

poulbot · May 2018

Bonsoir Bouzar
$m_{A}^{2}+m_{B}^{2}+m_{C}^{2}=\dfrac{3}{4}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) $ et $R^{2}\left( \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\right) =\dfrac{1}{4}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) $.
Amicalement. Poulbot

pappus · May 2018

Bonsoir
$3$
Amicalement
[small]p[/small]appus

zephir · May 2018

Bonsoir les amis,
Après une longue absence, je suis un peu rouillé.
Coiffé au poteau par Poulbot que je salue tout particulièrement.
Pappus, notre maître est là aussi. Mes salutations du soir.

La bonne question est : comment Poulbot sort-il ses formules ?

La seconde est très classique ! $2R=\dfrac a {\sin A}.$
Pour la première, je vois trois paraléllogrammes, leurs côtés et leurs diagonales.
Et vous qu'avez-vous vu ?

Amicalement,
zephir.

pappus · May 2018

Bonsoir Zephyr
Tout simplement:
$b^2+c^2=2m_a^2+\dfrac{a^2}2$
Cette formule porte un nom, je ne sais plus lequel!
Elle sert dans la théorie des espaces de Hilbert!
Amicalement
[small]p[/small]appus

GaBuZoMeu · May 2018

La règle du parallélogramme ?

pappus · May 2018

Bonsoir GaBuZoMeu
En elle même la règle du parallélogramme est affine.
Par contre la formule euclidienne qui en résulte est simplement la réduction d'une fonction scalaire de Leibnitz.
Je sais qu'elle porte un nom en géométrie du triangle, peut-être formule d'Apollonius? On ne prête qu'aux riches!
Amicalement
[small]p[/small]appus

GaBuZoMeu · May 2018

Qu'appelles-tu "règle du parallélogramme" ? Ce n'est pas
$$\Vert u+v\Vert^2+ \Vert u-v\Vert^2 = 2(\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2) \quad ?$$

pappus · May 2018

Bonsoir GaBuZoMeu
Oui, c'est à cette formule que je pensais.
Il semble me rappeler que c'est sous cette forme qu'on l'utilise dans la théorie des espaces de Hilbert pour prouver l'existence de la projection sur un convexe.
Amicalement
[small]p[/small]appus 76418

poulbot · May 2018

Bonjour
Une variante :
Déterminer la valeur de $\dfrac{m_{B}^{2}m_{C}^{2}+m_{C}^{2}m_{A}^{2}+m_{A}^{2}m_{B}^{2}}{R^{4}\left( \sin ^{2}B\sin ^{2}C+\sin ^{2}C\sin ^{2}A+\sin ^{2}A\sin ^{2}B\right) }$.
Amicalement. Poulbot

pappus · May 2018

Bonjour Poulbot
On utilise les relations: $2m_a^2=b^2+c^2-\dfrac{a^2}2$ et ses deux permutations circulaires pour obtenir:
$$m_b^2m_c^2+m_c^2m_a^2+m_a^2m_b^2=\dfrac 9{16}(b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2)$$
Je ne vois pas l'intérêt de faire intervenir la trigonométrie du triangle!
Amicalement
[small]p[/small]appus

poulbot · May 2018

Bonjour Pappus
"Je ne vois pas l'intérêt de faire intervenir la trigonométrie du triangle!"

C'était pour avoir un énoncé analogue à celui de Bouzar où il était également inutile de faire intervenir la trigonométrie du triangle.
Amicalemet. Poulbot

pappus · May 2018

Bonjour
Quels sont les polynômes symétriques $f\in \mathbb Z[U,V,W]$ tels que $\dfrac{f(m_a^2,m_b^2,m_c^2)}{f(a^2,b^2,c^2)}\in \mathbb Q$?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bouzar · May 2018

Bonjour à tous,
Merci à tous de vos contributions. C'est un exercice posé à l'Olympiade de mathématiques de Catalogne en 2008. La solution est identique à celle de poulbot et pappus.
Amicalement

Rescassol · May 2018

Bonjour,

Pappus a écrit:

$b^2+c^2=2m_a^2+\dfrac{a^2}2$
Cette formule porte un nom, je ne sais plus lequel!

Je l'ai toujours appelée première formule de la médiane.
La deuxième étant $AB^2-AC^2=2\overline{BC}\overline{IH}$ où $I$ est le milieu de $[BC]$ et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.
Je les ai même démontrées en 1èreS un jour d'inspection jadis.

Cordialement,

Rescassol