Parallélogramme

Depuis mon autobus : Faire attention, peut-être, aux problèmes de convexité.

Bonjour,

Je pense que oui, si on accepte les parallélogrammes aplatis.

Dans le plan complexe, on place les points $\displaystyle A,B,C,D$ d'affixes $\displaystyle a,b,c,d \in \C.$
L'équation s'écrit $\displaystyle |c-a|^2+|d-b|^2 = |a-b|^2+|b-c|^2+|c-d|^2+|d-a|^2$ que l'on développe brutalement, simplifie pour arriver $\displaystyle 2\Re(ab^*+bc^*+cd^*+da^*)=|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2 +2\Re(ac^*) +2\Re(db^*) = |a+c|^2+|b+d|^2.$

Comme j'ai d'abord fait :
On impose, sans perte de généralité, $\displaystyle a=0$ qui revient à confondre le point $A$ avec l'origine.
On a donc, nécessairement, $\displaystyle |b+d-c|^2=0.$
On impose, sans perte de généralité, $\displaystyle b=1$ qui revient à confondre l'axe des abscisses avec la droite $\displaystyle (AB)$ et à choisir $\displaystyle |AB|=1.$
On a donc, nécessairement, $\displaystyle c-d = 1.$ On a donc démontré que, nécessairement, $\displaystyle \vec{AB} = \vec{DC}=\vec{i}$ : $\displaystyle ABCD$ est donc un parallélogramme.

Puis une autre méthode plus rapide :
L'équation s'écrit $\displaystyle |c-a|^2+|d-b|^2 = |a-b|^2+|b-c|^2+|c-d|^2+|d-a|^2$ que l'on développe brutalement, simplifie pour arriver $\displaystyle 2\Re(ab^*+bc^*+cd^*+da^*)=|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2 +2\Re(ac^*) +2\Re(db^*) = |a+c|^2+|b+d|^2.$ On a donc $\displaystyle |(a+c) - (b+d)|^2=0$ et donc $\displaystyle b-a=c-d$ : on a donc démontré que, nécessairement, $\displaystyle \vec{AB} = \vec{DC}$ et donc que $\displaystyle ABCD$ est un parallélogramme.

Remarque : la méthode par réduction d'une fonction scalaire de Leibniz ne suppose pas les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) coplanaires… le résultat vaut donc pour des quadrilatères « gauches ».