Redresser la perspective
bonjour à tous,
pour son TIPE de Spé, un élève a besoin d'une construction géométrique de ce que fait Photoshop (redresser la perspective d'une photo afin que l'image d'un quadrilatère donné soit un rectangle ; pour lui, ce serait un carré). Je lui ai proposé la méthode suivante (cf le fichier .ggb inclus) qui utilise les propriétés des faisceaux de droites en homographie. Ouf, il n'a pas appelé Police-Secours mais j'aimerais une construction plus abordable avec des cercles (le cercle est un objet géométrique que certains collégiens ont vu s'ils ont eu la chance d'avoir un professeur de l'âge des parents de Pappus).
Cela dit, la construction par conique peut se ramener, vu le théorème de Pascal, à des constructions à la règle mais j'ai profité des possibilités de GéoGébra.
Amitiés au forumeurs, j__j
pour son TIPE de Spé, un élève a besoin d'une construction géométrique de ce que fait Photoshop (redresser la perspective d'une photo afin que l'image d'un quadrilatère donné soit un rectangle ; pour lui, ce serait un carré). Je lui ai proposé la méthode suivante (cf le fichier .ggb inclus) qui utilise les propriétés des faisceaux de droites en homographie. Ouf, il n'a pas appelé Police-Secours mais j'aimerais une construction plus abordable avec des cercles (le cercle est un objet géométrique que certains collégiens ont vu s'ils ont eu la chance d'avoir un professeur de l'âge des parents de Pappus).
Cela dit, la construction par conique peut se ramener, vu le théorème de Pascal, à des constructions à la règle mais j'ai profité des possibilités de GéoGébra.
Amitiés au forumeurs, j__j
Réponses
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Voici ! Les points $M$ et $M'$ se correspondent par l'homographie qui envoie $ABCD$ sur $A'B'C'D'$.
-
Mon cher j_j
Merci de nous rendre visite, elles sont si rares!
Si j'ai bien compris, on se donne quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan et un carré $A'B'C'D'$.
Si $f$ est la transformation projective $f:ABCD\mapsto A'B'C'D'$, il s'agit de donner une construction simple du point $M'=f(M)$.
Je propose la méthode suivante.
Sur la figure ci-dessous, j'ai construit le carré $ABC''D''$.
La transformation projective $ABCD\mapsto ABC''D''$ est une homologie de pôle $\Omega$ et d'axe $AB$.
J'ai construit l'image $M''$ du point $M$ dans cette homologie.
Une fois ceci fait, on passe du carré $ABC''D''$ au carré $A'B'C'D'$ par une similitude (directe ou indirecte) $s$ et $M'=s(M'')$
Drame épouvantable: construire le point $M'=s(M'')$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Meilleurs voeux pour les concours! -
Merci, Pappus poue cette élégante solution qui s'appuie sur la simplicité de la construction du carré auxiliaire !
Certes, je me suis fait rare mais je consulte le forum de géométrie quotidiennement, en général pour constater que toute question a déjà obtenu $N$ réponses (rares sont les forums (ou fora ?) aussi véloces.
Maintenant, je laisse la construction de $s(M'')$ en exercice à mon élève : ça lui fera le plus grand bien.
Amicalement, j__j -
Bonsoir
Voici un vieux fil sur le même sujet:
Redressement image en perspective
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne Nuit
Le drame n'est pas si épouvantable puisqu'il se trouve que j'ai donné $n$ et $n$ fois cette construction ici même dans le passé.
Je n'ai fait d'ailleurs que reprendre une figure de Coxeter dans son livre: Geometry.
Pauvre Coxeter, il s'est donné beaucoup de mal pour pas grand chose.
Donc ci-dessous deux carrés $ABCD$ et $A'B'C'D'$.
Il existe une similitude $s:ABCD\mapsto A'B'C'D'$.
Et on peut admirer la construction de Coxeter du point $M'=s(M)$ ainsi que celle du point fixe $\Omega$ de $s$.
Je n'ai pas le livre sous les yeux mais il semble me rappeler qu'il appliquait le théorème du point fixe sur les applications contractantes.
Les similitudes ont disparu pour toujours mais il nous reste les applications contractantes, encore heureux!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonne Nuit
Que les incrédules qui croient que la construction de Coxeter ne marche que si $s$ est une similitude directe se détrompent, elle fonctionne tout aussi bien si $s$ est une similitude indirecte.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
En fait la construction de Coxeter est affine.
Pratiquement, la plus grande partie des droites intermédiaires de sa figure sont tracées comme parallèles à l'un des huit côtés des carrés $ABCD$ et $A'B'C'D'$.
Techniquement on peut remplacer les carrés par des parallélogrammes quelconques et la construction de Coxeter donne alors le point fixe $\Omega$ de l'unique application affine $s:ABCD\mapsto A'B'C'D'$.ainsi que l'image $M'=s(M)$ d'un point quelconque $M$.
On sait que génériquement une application affine plane a un unique point fixe. C'est par exemple le cas des défuntes similitudes.
La construction de Coxeter fonctionne donc bien dans ce cas général.
Dans les autres cas particuliers, pas de point fixe ou droite de points fixes, il faut regarder ce qui se passe.
Je ne peux quand même pas tout faire!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Dans le cas d'une similitude, les coniques du premier message deviennent des cercles ; voici une image, dans laquelle je n'ai tracé que la moitié de la construction, afin de ne pas surcharger l'image.
Amicalement, j__j (qui espère ainsi réconcilier les géométries affine, euclidienne et projective, si tant est qu'elles fussent brouillées)
Je n'ai pas renommé les points que Geogebra a nommés au petit bonheur. (sauf $M$ et $M'$).. -
Merci j_j
Elles ne sont pas brouillées. Elles sont maintenant inconnues!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Un petit problème de construction projective en relation avec ce qui précède.
$A,B,C,D,C^{\prime },D^{\prime }$ étant donnés, on suppose que la transformation projective du plan $ABCD\rightarrow ABC^{\prime }D^{\prime }$ possède un et un seul troisième point fixe $\Omega $. Construire $\Omega $ (à la règle seule).
Amicalement. Poulbot -
Bonjour poulbot,
Ta transformation projective est la composée d'une homologie de centre $B$ et d'axe $A\Omega$ par une homologie de centre $A$ et d'axe $B\Omega$. -
Bonjour gai requin
Merci et bravo pour cette belle construction.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour à tous,
Je contemple avec joie vos élucubrations
en me disant : qu'ont-ils fait de la translation ?
Si les deux carrés ont le même centre, que se passe-t-il ?
Et si on peut faire compliqué, pourquoi faire simple ?
Si vous voulez en entendre d'autres de mes facéties, venez me voir
Dimanche 10 Juin 16h-18h au théâtre Falguières 55 rue de la procession, Paris 15eme
La pièce en deux actes s'intitule : Je parle à mon cerveau
Acte 1 : Chronologie d'un Foncteur
Acte 2 : J'ai débridé mon cerveau
Dans l'acte 2, un striptease de 50 mn qui vous tiendra en haleine par la peau des c......s (pour les hommes)
et par la pointe des n.....s (pour les femmes). Venez avec 20€ (et plus si vous en avez).
Ave les amis,
Le roi des emmerdeurs vous salue bien bas.
Celui qui, mort, est rejeté par Lucifer et doit retourner sur terre car il est frappé d'immortalité.
Assez dit sur la pièce. N'oubliez pas vos couches culottes. Rires humides garantis.
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Bonjour!
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