Problème sans paroles

soland · May 2018

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Math Coss · May 2018

Les quatre droites se coupent en $-w^5+w^4$ où $w=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/9}$.

# polynôme minimal de w, racine primitive 18e de l'unité
print factor(x^18-1)

# où calcule-t-on ?
K.<w> = NumberField(x^6-x^3+1)
R.<z,zb> = PolynomialRing(K,2)
# définition de la conjugaison complexe et vérification
# vérification que c'est la conjugaison complexe
f = K.automorphisms()[4]
print f(w), f(f(w))

# équation de la droite passant par les points d'affixes a et b (en z et zb = conjugué de z)
def D(a,b): return Matrix(3,3,[1,1,1,a,b,z,f(a),f(b),zb]).det()
# définition des droites de la figure
D1, D2, D3, D4 = D(w,w^11), D(w^3,w^14), D(w^4,w^15), D(1,w^9)

# intersection des deux premières droites
I = R.ideal([D1,D2])
V = I.variety()[0]
print V
# vérification que l'intersection est sur les autres droites (qui sont donc concourantes !)
print D1.subs(V), D2.subs(V), D3.subs(V), D4.subs(V)

Sortie :

(x^6 + x^3 + 1)*(x^6 - x^3 + 1)*(x^2 + x + 1)*(x^2 - x + 1)*(x + 1)*(x - 1)
-w^5 + w^2 w
{z: -w^5 + w^4, zb: -w^5 + w^4}
0 0 0 0

Rescassol · May 2018

Bonjour,

Le même en Matlab:

clear all, clc

syms b complex

[p1 q1 r1]=DroiteDeuxPoints(0,b^2,0,-b^7);        % Droite(B_2 B_11)
[p2 q2 r2]=DroiteDeuxPoints(b^3,-b^4,-b^6,b^5);   % Droite(B_3 B_13)
[p3 q3 r3]=DroiteDeuxPoints(b^5,-b^7,-b^4,b^2);   % Droite(B_5 B_16)
[p4 q4 r4]=DroiteDeuxPoints(b^6,-b^8,-b^3,b);     % Droite(B_6 B_17)
[p5 q5 r5]=DroiteDeuxPoints(b,-1,-b^8,-1);        % Droite(B_1 B_9)

[om omB]=IntersectionDeuxDroites(p1,q1,r1,p2,q2,r2);

om=Factor(om)  % On trouve om = b^3/(b^2 + b + 1)
omB=Factor(omB)

Nul3=Factor(p3*om+q3*omB+r3)
Nul4=Factor(p4*om+q4*omB+r4)
Nul5=Factor(p5*om+q5*omB+r5)

% Nuls car b^6 - b^3 + 1 = 0

Où $b=e^{\tfrac{i\pi}{9}}$. $(B_1B_9)$ passe également par ce point.

Cordialement,

Rescassol

jelobreuil · May 2018

Bonne nuit
une solution sans calculs, avec la remarque que, puisque les deux diagonales les plus courtes de la figure de Soland sont symétriques par rapport à la plus longue qui est un diamètre du cercle circonscrit à l'octadécagone régulier, il est tout à fait normal qu'elles se coupent sur ce diamètre. Je n'en ai donc représenté qu'une seule.
Les angles sont évalués comme des angles inscrits dans ce cercle circonscrit.
Bien cordialement
JLB 76546

soland · May 2018

Les calculs sont ok et la preuve synthétique me ravit !

soland · May 2018

Six points par cercle et six cercles par point. 76552

jelobreuil · May 2018

Bonsoir Soland,
Si ma solution synthétique a eu l'heur de te ravir, ta rosace a le même effet sur moi !
Je constate que ces intersections de cercles s'alignent deux par deux comme intersections de diagonales particulières non pas de l'ennéagone, mais de l'octadécagone associé ... celles qui sont perpendiculaires aux plus petites diagonales de cet octadécagone, autrement dit les côtés de l'ennéagone !
Bien cordialement
JLB 76576