Construction approchée d'un ennéagone régulier
Bonne nuit à tous,
Après moult tâtonnements, j'ai réussi à construire un angle très voisin de 140°, dans le but de trouver une construction approchée satisfaisante d'un ennéagone régulier.
Cerise sur le gâteau, j'obtiens du même coup une trisection approchée de pi/3.
Bien cordialement
JLB
Après moult tâtonnements, j'ai réussi à construire un angle très voisin de 140°, dans le but de trouver une construction approchée satisfaisante d'un ennéagone régulier.
Cerise sur le gâteau, j'obtiens du même coup une trisection approchée de pi/3.
Bien cordialement
JLB
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Réponses
Pour diviser aox en 3 on divise ay en trois et on retourne sur le cercle.
Merci, Soland, de cette indication historique bienvenue !
Je n'aurai donc fait que remettre à l'honneur une vieille recette, mais cela en valait bien la peine !
Pour ma part, je viens d'effectuer un rapide calcul de vérification sur tg 20° : ma construction donne pour expression de cette tangente la valeur 17(rc3)/81 = environ 0,363517, soit une erreur inférieure à 0,13 % ("exactement" 0,001273668) par rapport à la valeur donnée dans les tables, 0,363970.
(rc : racine carrée)
Et voici le résultat final : un ennéagone presque régulier, construit selon le même mode opératoire que l'heptagone (voir mes messages dans le fil "Construction approchée heptagone régulier"), à partir de l'angle DBJ ... je rappelle que ce mode opératoire garantit que tous les côtés de l'ennéagone "presque régulier" ont la même longueur et que seules les valeurs des angles diffèrent.
En noir l'ennéagone régulier approché obtenu, en rouge le véritable ennéagone régulier de même longueur de côté.
Bien cordialement
@AD: Puis-je modifier moi-même l'intitulé de ce fil en "construction approchée d'un ennéagone régulier"? Ou dois-je te demander de le faire ?
Dans ce dernier cas, je t'en remercie d'avance !
Bien cordialement
JLB
Il faut modifier le message initial (c'est ce que j'ai fait).
Ainsi, le nouveau titre apparaît sur la liste des nouveaux massages. Ce nouveau titre n'est cependant pas répercuté sur chaque message de la discussion, mais il apparaîtra sur les nouveaux messages issus du message initial.
AD
Amicalement
JLB
[À ton service :-) AD]
La construction approchée de Jelobreuil est très jolie.
Par curiosité, j'ai cherché s'il en existait d'autres sur la toile.
Regarder par exemple:
Construction (approchée) d'un ennéagone régulier 1
ou bien: Construction (approchée) d'un ennéagone régulier 2
J'avais moi même proposé ici, il y a bien des années, cette construction approchée trouvée dans un vieux manuel d'architecture d'Allonsius.
Les architectes sont en effet très friands de ce genre de constructions approchées surtout si elles sont simples à mettre en oeuvre.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Poulbot nous a donné une construction de l'ennéagone, basée sur l'intersection du cercle trigonométrique, (le seul qui nous reste encore très provisoirement pour appliquer l'axiome de Pythagore, alors profitons en pendant qu'il est encore temps!), avec une conique.
Je reviendrai sur cette construction
J'ai repris ci-dessous la construction de Poulbot en y rajoutant les intersections $p$ et $q$ du gudule des asymptotes avec le diamètre du cercle sacré passant par le point d'affixe $\jmath$.
Soit $\varphi=\exp(\frac{2\pi \imath}9)$.
Après une contemplation religieuse et intense du cercle sacré, je constate que la perpendiculaire en $p$ au diamètre passant par le point d'affixe $\jmath$ semble passer par les points d'affixes $\varphi$ et $\varphi^5$.
Evidemment, on sait qu'il n'en est rien sinon l'ennéagone serait constructible mais en tout cas, on tombe ainsi sur une nouvelle construction approchée.
Si $\omega$ est le point d'affixe $\frac 12$, sommet du gudule des asymptotes, on remarque que le triangle $\omega pq$ est rectangle isocèle, ce qui donne une construction simple des points $p$ et $q$!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ce que je trouve amusant dans cette construction approchée, c’est qu’elle provient de la construction exacte de Poulbot.
La différence angulaire entre la position exacte et la position approchée de $\varphi$ est de l'ordre de $0,01 $ radians, ce qui est de l'ordre du raisonnable.
Merci Pappus de ton appréciation de mon travail, et de cette indication concernant l'élégante construction d'Allonsius.
Bien cordialement
JLB
.
à vrai dire, ce dont je parle n'a rien d'inédit : cela a été découvert à peu près simultanément par un certain Videla et par Arnaudiès-Delezoïde et ne s'appliquerait pas par exemple à l'endécagone, dont la construction requiert la résolution d'équations quintiques. Les constructions approchées ont encore de beaux jours devant soi.
Amitiés, john_john
Avec les fractions continues : $\tan(2\pi/9)\approx 73/87$ à moins de $2 \times 10^{-5}$ près. On place le point $A(8.7;7.3)$ dont l'angle polaire vaut environ $39,9994°$.
J'ai retrouvé ceci dans mes notes.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Peut-être une autre piste, à partir des diagonales et des relations qui les relient.
Ci-dessous un schéma que j'ai posté récemment.
À noter aussi que b' = AM = AP = CQ
On peut y rajouter
• une formule bien connue
b = a + d
⇔ b/a - 1 = d/a (1)
• une autre sortie récemment sur Romantics of Geometry
ac = ad + bd = (a+b)·d [Ptolémée]
⇔ c/d - b/a = 1 [David Vreken]
⇔ b/a + 1 = c/d (2)
• une autre que j'ai publiée
(1)+(2) ⇒
b/a = (d/a + c/d)/2 (3)
• et celle ci-dessus
(sur mon schéma)(déduite de (1), (2) et (3))
Je rajouterais bien mon nouveau post sur la question :
abd/c³ = ⅓︎ (4)
Et si x = {x₁︎, x₂︎, x₃︎} avec
a/c = 0.742227198968559... = x₃︎
d/c = 0.394930843634698... = x₂︎
b/c = 1.13715804260326... = -x₁︎
nous avons
3x³ - 3x + 1 = 0 (5)
-x₁︎ · x₂︎ · x₃︎ = abd/c³ = ⅓︎
x₁︎ + x₂︎ + x₃︎ = (-b + d + a)/c = 0
Cela inspirera peut-être l'une ou l'autre construction à la règle et au compas.Cordialement,
Jean-Pol Coulon
pour ceux qui comprennent les seuils de percolation:
avec 𝒫c (triangular bond) = 2 sin (π/18)
(seuil de percolation des liaisons pour un réseau triangulaire)
Jean-Pol Coulon
Je viens de compléter mon texte ci-dessus avec
abd/c³ = ⅓︎
3x³ - 3x + 1 = 0 avec x = a/c, d/c ou -b/c
J'ignore si ces formules sont « archi-connues », mais j'ai eu beaucoup de satisfaction à les découvrir.
Belle fin de soirée,
Jean-Pol Coulon
On peut aussi regarder les nombres combinaisons de $\tan(2\pi/9)$ avec par exemple des racines carrées, pour chercher à obtenir des fractions d'entiers pas trop grands et qui approximent très bien. Par exemple : $$\frac{\tan(2\pi/9)}{\sqrt{2}} \approx \frac{89}{150}$$ à moins de $3 \times 10^{-7}$ près. D'où la construction suivante, avec $ABCD$ carré de côté $8,9$ et $AF=15$.
Bien cordialement.
kolotoko
Étant optimiste de nature j'ai bien l'impression que la racine carrée de deux neutralise le caractère irrationnel des lignes trigonométriques de $2\pi/9$.
Voici cette construction, qui donne effectivement un ennéagone quasi régulier !