Une droite, un cercle
Bonjour
Ça fait un moment que je connais ce forum et que j'y passe de temps en temps, et aujourd'hui je me casse les dents sur un problème qui ne m'avais pas l'air compliqué, alors j'en fait appel à vous.
J'ai un cercle C ainsi qu'une droite (d) avec un point A sur cette droite. Comment construire un point M de (d), tel que le cercle de centre M et de rayon MA soit tangent à C ?
Merci.
Ça fait un moment que je connais ce forum et que j'y passe de temps en temps, et aujourd'hui je me casse les dents sur un problème qui ne m'avais pas l'air compliqué, alors j'en fait appel à vous.
J'ai un cercle C ainsi qu'une droite (d) avec un point A sur cette droite. Comment construire un point M de (d), tel que le cercle de centre M et de rayon MA soit tangent à C ?
Merci.
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Réponses
Le cercle de centre A et de même rayon \(R\) que le cercle donné (de centre C), intersecte la droite (d) en deux points B et B'.
Les médiatrices des segments [AB] et [AB'] intersectent la droite (d) en les centres des cercles à construire.
euh .. tu es sur ?
moi je fais comme ça, en considérant l'inversion de pole A qui conserve le cercle donné globalement inchangé.
1. MO=MA+R=MB pour un certain point B de la droite (d) avec AB=R.
2. NO=NA+R=NB' pour un certain point B' de la droite (d) avec AB'=R.
Les poijnts M et N appartiennent aux médiatrices de [OB] et [OB'].
Ma figure :
Quand $M$ varie, l'axe radical de $C$ et du cercle $(M,MA)$ passe par un point fixe $P$ de la perpendiculaire en $A$ à $d$ $\left( \ast \right) $.
Si $N,N^{\prime }$ sont les points communs aux cercles $C$ et $\left( P,PA\right) $, les points $M$ cherchés sont $d\cap ON$ et $d\cap ON^{\prime }$ (et $N,N^{\prime }$ sont les points de contact des cercles correspondants avec $C$).
$\left( \ast \right) $ Pour construire $P$, utiliser n'importe quel cercle $(M,MA)$ intersectant $C$ ou le fait que $P$ est sur la médiatrice de $\left[ A,C\left( A\right) \right] $ où $C\left( A\right) $ est l'inverse de $A$ par rapport à $C$
Amicalement. Poulbot
Une généralisation à 3 D peut être votre permission.
Cordialement.
"Une généralisation à 3 D peut être votre permission"
Je ne comprends pas ce que tu veux dire mais on peut remarquer que, dans un plan, si $C$ est le cercle de centre $O$, rayon $r$, le cercle de centre $M$ passant par $A\notin C$ est tangent à $C$ si et seulement si
$OM+AM=r$ si $A$ est intérieur à $C$
$\left\vert OM-AM\right\vert =r$ si $A$ est extérieur à $C$
Dans tous les cas, le lieu de $M$ est la conique de foyer $O$ et $A$ est d'excentricité $\dfrac{OA}{r}$.
Par rotation autour de la droite $OA$, on obtient le lieu des centres des sphères tangentes à la sphère $S$ de centre $O$ rayon $r$ et passant par $A\notin S$ (ellipsoïde de révolution allongé ou hyperboloïde de révolution à $2$ nappes).
Si maintenant on veut se restreindre aux points $M$ appartenant à une droite ou à un plan donnés, il suffit de trouver l'intersection de la quadrique précédente avec la droite ou le plan donnés.
Amicalement. Poulbot
mais merci.