Difféomorphisme d'un segment sur une variété

Oui c'est le cas typique que je veux faire. Donc dans le disque unité, j'ai un point $x$ à l'intérieur du disque et une direction $v \in \mathbb{R}^2$. Je veux faire un changement de variable dans une intégrale pour écrire $x$ comme $(s,y)$ avec $y$ le point du bord tel que $x = y + sv$. Donc en gros, je veux passer d'un point $x$ dans $\mathbb{R}^2$ à son écriture en coordonnées $(s,y)$ avec $y$ un point du cercle et $s$ la taille du segment qui mène de $y$ à $x$.

Dans le cas où l'on déforme le cercle pour que la bordure soit exactement $x_2 = 0$ par exemple, je sais traiter le changement de variable. Je cherche donc à me ramener à ce cas. Mais pour cela, je sais transformer sur un voisinage de $y$ le bord pour me ramener à mon cas $x_2 = 0$. Le problème c'est que pour faire le changement de variable dans l'espace d'arrivée du $C^1$ difféo, il faudrait que $x$ soit aussi dans l'ouvert de départ... ce qui, il me semble, n'est pas le cas.

Est-ce que pour autant je peux supposer l'existence d'un $C^1$ difféo qui part d'un ouvert englobant tout le segment $[x,y]$ et projetant l'intersection de cet ouvert avec le bord au voisinage de $y$ sur une portion de $x_2 = 0$?

Le $v$ est constant c'est bien ce genre de chose que j'ai en tête. En fait j'ai une intégrale en $(x,v)$ que je veux écrire comme une intégrale en $(s,y,v)$ avec la décomposition précédente, parce que j'ai une mesure pour les $(s,y,v)$ mais que je ne connais pas la mesure pour les $(x,v)$.

Mon problème est précisément que je ne veux pas faire d'hypothèse de convexité sur le domaine parce que ce serait restreindre inutilement le problème. Donc le difféo en question est horrible. Mais dans le cas où le bord dans lequel se situe $y$ est défini par le fait que $x_2 = 0$, (par exemple le demi cercle), le difféo du changement de variable a un Jacobien égal à 1! (j'ai déja fait le calcul). Donc, je veux me ramener à ce calcul. Si le $x$ est suffisamment proche de $y$, au sens où la carte $(\phi,U)$ avec $U$ voisinage de $y$ est telle que $x \in U$, c'est gagné. Mais ce n'est absolument pas possible en général, le $x$ pouvant se trouver assez loin ! En revanche si je peux construire une carte $(\Psi,U)$ tel que $U$ contient tout le segment $[x,y]$ ce sera gagné.

Je ne sais pas si la notion de géodésique (je travaille dans un domaine borné de $\mathbb{R}^n$ a priori) peut m'aider et si des résultats plus simples/généraux existent pour cette notion.

Je peux éventuellement détailler plus le contexte mais je ne sais pas si cela aidera. Mais merci beaucoup de réfléchir avec moi en tout cas.

Je ne vois pas d'autre moyen de passer de la loi à l'intérieur du domaine à la loi sur le bord, sachant que je ne connais pas la loi dans le domaine mais seulement la loi sur le bord. Je ne peux pas trop imaginer plus simple pour cela que de faire un simple changement de coordonnées de $x$ à $(y,s)$ où $y$ est le point du bord correspondant et $s$ la longueur pour le rejoindre.

Une autre façon de voir mon problème c'est de regarder le changement de coordonnées dans l'autre sens : étant donné $(s,y)$, l'exprimer comme un seul point $x = y + sv$ ($v$ constant fixé). Mon problème c'est que cette application là est bien un $C^1$ difféo, puisque $y$ vit dans une hypersurface et s'écrit donc dans un certain système de coordonnées comme un point de $\mathbb{R}$, mais que je ne sais pas du tout comment le montrer et calculer le Jacobien ! Par exemple si $y_2 = 0$ il est facile de voir que le Jacobien de la transformation vaut 1. Mais comment faire si l'hypersurface n'est pas exactement $y_2 = 0$ ? Y a-t-il une autre façon de faire que de se ramener au cas précédent ?

Edit: Je viens de regarder les voisinages tubulaires et ça m'a l'air d'être ce qu'il me faut... Mais je ne connais absolument rien à ce sujet. Est-ce quelque chose de standard (sur lesquels on a des résultats intéressants dans un domaine de $\mathbb{R}^n$ par exemple)?

Le problème de base est
Connaissant une mesure sur le bord $\partial \Omega$, notons la $\mu$, et sachant que tout point de $\Omega$ peut s'écrire comme $x = y + sv$ avec $y$ un point du bord, $v$ un paramètre constant et $s = |x-y|/v$, exprimer la mesure $\nu$ sur $\Omega$ en fonction de la mesure sur le bord.
En gros si j'ai \begin{equation}
\int_{\Omega} f(x) \nu(dx)
\end{equation} je veux pouvoir écrire cela comme \begin{equation}
\int_{\partial \Omega} f(y + sv) \mu(ds,dy)
\end{equation} parce que comme $v$ est fixé une fois pour toute tout point $x$ peut se réécrire comme un point de coordonnées $(y,s)$. Mais le Jacobien pour passer d'une écriture à l'autre n'est pas évident (enfin je ne crois pas) dans les cas non triviaux.

Pas de problème.

Je corrige quand même le message précédent au cas où quelqu'un d'autre voudrait tenter sa chance.
C'est bien $s = |(x-y)/v|, v \in mathbb{R}^2$. Le rapport entre $\mu$ et $\nu$ est précisément ce que je cherche à établir, je voudrais pouvoir écrire tout point $x$ comme $(y,s)$ pour m'appuyer sur la mesure au bord $\mu$ que je connais. Effectivement écrire $\mu(ds,dy)$ est un abus, j'aurais du écrire la deuxième intégrale comme ceci \begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^+} \int_{\partial \Omega} f(y+sv) \mu(dy) ds
\end{equation} ce qui est beaucoup plus clair je pense, j'étais allé trop vite.

Dans un premier temps supposons $\Omega$ convexe ce qui répond au point 3) (déjà si j'arrive à faire ça proprement j'aurai bien compris le problème je pense).

Pour la remarque 2), si je prends le demi-disque unité séparé par le diamètre constitué de l'intersection de $y_2 = 0$ avec le disque, j'ai bien $y_2 = 0$ comme bord pour un $v$ orienté dans le bon sens. Dans ce cas je sais que les choses se passent bien, c'est à dire que j'ai bien un difféomorphisme entre $\Omega$ et un bout de $\mathbb{R}^+ \times \partial \Omega$ (a priori je n'ai pas tout le bord et pas tout $\mathbb{R}^+$ puisque mon $v$ trace toujours dans le même sens). Dans ce cadre il me paraît évident (mais je ne sais pas le montrer très proprement) qu'un point $x = (x_1,x_2)$ qui, en suivant $v$, touche le bord sur le sous-ensemble du bord tel que $y_2 = 0$ peut s'écrire comme $(y,s)$ avec $y = (y_1, 0)$ et $s$ un réel positif. Et inversement qu'à tout couple $(y,s)$ avec $y$ au bord je peux associer un unique $x$.

Dans ce cas la mesure sur $\Omega$ sera juste la mesure sur $\partial \Omega$ fois les jacobiens des bons difféomorphismes. Dans le cas où la mesure est une fonction $L^1$ fois la mesure de Lebesgue ce que je dis est complètement trivial je pense, ça correspond juste à avoir un champ de vecteur approprié. Et je comprends mal pourquoi ce que je veux faire est illusoire, calculer une intégrale sur une variété à partir d'une forme différentielle sur la surface c'est exactement ce que fait le théorème de Stokes non?

Même intuitivement dans un $\Omega$ convexe et en se restreignant à un sous-ensemble de $\mathbb{R}^+$ (je suis d'accord que j'aurai dû penser à ce dernier point plus tôt parce que $v$ est fixé), cela ne me semble pas déraisonnable de pouvoir écrire tout point comme le point du bord correspondant et la longueur entre le point du bord $y$ et le point $x$ sur la droite orientée par $v$.


Je voudrais pouvoir me ramener au cas de demi-disque par un difféomorphisme en utilisant que mon $\Omega$ de départ est une variété $C^1$.

C'est exactement ce que je cherche ! Mais je ne sais pas le montrer proprement en dehors du cas du demi-disque évoqué précédemment, et en particulier ce que je voudrais c'est me ramener à ce cas simple (mais il est possible qu'il existe un moyen beaucoup plus direct à l'aide de la divergence d'un champ de vecteur, je n'ai vraiment que des connaissances très superficielles en géo diff). D'où l'idée de pouvoir prendre une carte $(U,\phi)$ sur mon domaine tel que tout le segment $[x,y]$ est dans $U$. J'ai cherché pas mal et maintenant je sais faire.

Le point qu'il me manque pour compléter tout cela c'est que si je transporte mon segment $[x,y]$ dans le demi disque pour faire mon changement de variable, j'obtiens un $(y',s')$ dans ce plan. Quand je reviens alors à mon ouvert de départ, le $y$ est parfait, mais le $s$? Il faudrait que j'ai quelque chose comme une isométrie je pense, mais je pense ne pas comprendre complètement la manoeuvre à effectuer. C'est encore très confus pour moi.

Oui tout à fait pour le $\mathbb{R}^+$, c'était une erreur de ma part, toutes mes excuses.

C'est ce que je soupçonnais.
Commençons par considérer que $\mu$ ma mesure sur $\partial \Omega \times [0,r(y)[$ s'écrit $\mu(dy,ds) = f(y,s) d\sigma(y) ds$ avec $f$ une fonction $L^1$, $ds$ qui correspond à la mesure de Lebesgue sur l'intervalle, et $d\sigma(y)$ qui correspond à la mesure de surface (mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}^{n-1}$ adaptée correctement je pense). Est-ce que ce cas paraît cohérent? Et dans ce cas, quel est le résultat qui permet d'obtenir la formule évoquée ci-dessus?

Je pense que ce sont des notions très courantes en physique relativement élémentaire et que beaucoup de gens en maths obtiennent des intuitions là-dessus par cette voie, mais je n'ai quasiment aucune connaissance dans ce domaine.

J'ai écrit $\partial \Omega \times [0, r(y)[$ pour désigner ce que j’appellerai désormais $A$, défini par $A = \{(y,s), y \in \partial \Omega, s \in [0,r(y)[\}$. Le $f$ du $\mu$, que j'appellerai désormais $g$, est sans rapport avec l'intégrande. Désolé ce n'était pas clair du tout.

Je connais ce théorème, mais je pense que mon problème est plus subtil que ça. En effet je n'ai pas d'expression explicite pour le $\Phi$. En particulier a priori, mon $\Phi$ va de $\Omega$ dans $A$ (ou l'inverse), alors que $A$ est de dimension $n +1 $ si $\Omega \subset \mathbb{R}^n$. C'est pour cela que je voulais me ramener (localement seulement) dans le cas où le bord peut s'écrire comme un sous-ensemble de $y_n = 0$, parce qu'alors je sais que le vecteur normal à $y$ est $e_n$ et que je peux ``supprimer'' la colonne correspondant à $y_n$ dans le calcul du déterminant. Mais dans le cas général, je ne sais absolument pas faire (la matrice est a priori de taille $n+1 \times n$, alors que la formule indiquée au-dessus (avec $|v \cdot n_y|$ ) suggère qu'il existe un résultat.

1) Il est clair qu'il faut plutôt écrire
$A = \{(y,s), y \in \partial \Omega, s \in ]0,r(y)[\}$ avec l'intervalle ouvert des deux côtés, pour ne pas avoir de point de $\partial \Omega$ dans $A$.

2) Ouvert, fermé? Vu l'espace dans lequel vit $s$ c'est impossible d'avoir un fermé. Mais ce n'est pas non plus un ouvert dans $\mathbb{R}^n$ parce qu'on ne peut pas construire de boule autour d'un point du bord.
Par contre c'est un ensemble ouvert dans $\bar{\Omega}$ je pense (pas sûr du tout).

3) Je ne devrais pas avoir besoin du difféomorphisme direct, puisque seul le Jacobien m'intéresse, je peux prendre simplement l'inverse du Jacobien du difféomorphisme réciproque non ? Parce que la définition a priori de $(y,s)$ pour un $x$ donné est $s = \inf \{t > 0, x + tv \in \partial \Omega \}$ et $y = x + sv$, mais je ne vois pas du tout comment différentier en $s$. En revanche le difféomorphisme réciproque est $\phi(y,s) = y + sv$ mais c'est précisément le calcul de ce déterminant (à cause du problème du vecteur normal en $y$) qui me pose problème...

Je ne demande que cela d'écrire quelque chose de propre, si je ne le fais pas c'est parce que je ne sais pas faire...

Ce que j'attends c'est de comprendre comment montrer que le Jacobien de mon changement de variable vaut bien $|n_y \cdot v|$. Je n'ai pas le bagage technique pour, j'espèrais simplement trouver quelqu'un pour m'y aider. Si ça peut simplifier les choses je reprends depuis le début.

Soit $\Omega$ un domaine de $\mathbb{R}^n$ de bord $C^1$, que l'on peut supposer convexe dans un premier temps. Soit $v$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$. On suppose que l'on dispose d'une densité sur le bord de $\Omega$, noté $\partial \Omega$, que l'on notera $g(.)$. Mon objectif est de calculer une mesure $\mu$ sur $\Omega$ par un difféomorphisme adapté avec le bord, en tirant parti du fait que chaque point $x$ de $\Omega$ peut s'écrire $(y,s)$ avec $y$ un point du bord et $s$ un point de $\mathbb{R}^+$, et en utilisant que $x = y + sv$ et que cette décomposition est unique. Pour une fonction $f$ continue bornée, je m'attends donc à pouvoir écrire quelque chose du type
\begin{equation}
\int_{\Omega} f(x) \mu(dx) = \int_{\partial \Omega} \int_0^{r(y)} f(y + sv) g(y) \alpha(y,v,s) dy ds
\end{equation}

Le coefficient $\alpha(y,v,s)$ ci-dessus est celui qui est obtenu lorsque l'on change de système de coordonnées. C'est son calcul qui me pose problème. Dans le sens direct, il ne me paraît pas y avoir d'écriture directe de ce changement de variable. Dans le sens indirect, je l'ai déjà noté plusieurs fois donc j'imagine que ce n'est pas le bon moyen de faire les choses, on a $x = y + sv$. Dans les deux cas je ne sais pas calculer le Jacobien correspondant parce que je ne sais pas gérer le problème de dimension (a priori $\partial \Omega$ est dans $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_+$ qui a donc une dimension de trop par rapport à $\Omega$. En fait $\partial \Omega$ est une hypersurface de dimension $n-1$ donc les choses sont de la bonne dimension, mais je ne sais pas dériver le long d'une hypersurface).

Pour le $A$ la seule transformation qui me vient à l'esprit est d'écrire $A= \{(y,s) = (y_{||} + n_y,s) , y \in \partial \Omega, s \in (0,r(y)) \}$, où pour tout point du bord $z$, $z_{||}$ est la composante tangentielle et $n_z$ la composante normale. Cela ne résout cependant pas mon problème de calcul du Jacobien (même dans le sens indirect), car je ne sais pas différentier seulement la composante tangentielle.