Cherche démonstration - variant contravariant

Bonjour
Avant de discuter de l'animation de Jippy13, je rappelle les définitions des composantes contravariantes et covariantes d'un vecteur $x$
Puisque Jippy13 souhaite avoir une démonstration géométrique, il se limite à la tristounette dimension $2$
On travaille donc dans un espace vectoriel euclidien de dimension $2$ muni de son produit scalaire $\langle \bullet \vert \bullet\rangle\ $.
Si $(e_1,e_2)$ est une base de $E$, le couple $(x^1,x^2)$ des composantes contravariantes du vecteur $\bf x$ dans cette base est défini par:
$\bf x$ $=x^1e_1+x^2e_2$.
Le couple $(x_1,x_2)$ des composantes covariantes de $\bf x$ dans cette même base est défini par:
$x_1=\langle \bf x$$\vert e_1\rangle$ et $x_2=\langle \bf x$$\vert e_2\rangle$
C'est tout, on voit qu'il n'y a rien de mystérieux pour le moment
Que ces coordonnées soient appelées contravariantes ou covariantes tient aux manières différentes dont elles se transforment dans un changement de repères.
Pour le moment, on a pas besoin de changer de repère, ouf!
Voici la mirifique formule dont Jippy13 souhaite avoir une démonstration géométrique:
$\langle \bf x$$\vert \bf x$$\rangle =\langle \bf x$$\vert x^1e_1+x^2e_2\rangle=x^1x_1+x^2x_2$
Je ne vois pas très bien l'intérêt d'avoir une démonstration géométrique d'une identité aussi triviale mais pourquoi pas?
Quand on regarde l'animation, il semblerait qu'on soit face à une démonstration semblable à celle de l'axiome de Pythagore comme somme d'aires de carrés adéquats.
Outre que la figure de Jippy 13 n'est ni étiquetée ni commentée, je ne vois pas pourquoi les termes $x^1x_1\ $ et $x^2x_2$ devraient être positifs si on peut les interpréter comme des aires.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Géniale l'animation ! C'est comme ça que la géométrie devrait être enseignée: avec de la couleur et du mouvement.
...

Bonsoir Jippy
Nos messages se sont croisés!
Tu remarqueras que ma figure ne comporte aucun angle, à part deux angles droits, suivant l'adage: moins on utilise ces maudits angles dont personne dans notre république analphabète ne connait les diverses définitions et mieux on se porte!
Ils n'ont pas l'air de t'avoir réussi!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Jippy
Le point important est que j’ai donné la bonne formule, ce que tu n’as pas fait puisque ton animation est erronée, il faudra la modifier.
Je ne vois guère l’intérêt de ta décomposition rectangulaire si elle doit s’adresser à des élèves qui n’entendront jamais parler de coordonnées covariantes ou contravariantes. Les coordonnées covariantes sont définies comme produits scalaires, difficile d'y échapper! La démonstration algébrique basée sur le produit scalaire se suffit donc à elle même par sa simplicité, encore fallait-il la faire!
Bonne chance en tout cas dans tes recherches même si j’ai le sentiment que tu perds ton temps pour pas grand chose.
Au moins tu as maintenant les bons rectangles sous les yeux!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Jippy
J'utilise Cabri depuis ses débuts. Attention, il est payant.
Tu peux utiliser le logiciel libre GeoGebra.
Amicalement
[small]p[/small]appus