Le groupe de certains tétraèdres

Bonjour,
Faudrait déjà établir un bestiaire de ces tétraèdres. Ils ne sont pas si nombreux que ça puisque chaque arête touche toutes les autres, sauf celle qui lui est opposée.

Notons par exemple $abca'b'c'$ le tétraèdre quelconque de sorte que $abc$ soit un triangle de base et $a', b' , c'$ soient les arêtes respectivement opposées à $a,b,c$.

Soient $0<a<b$.
Le groupe des isométries de $aabbbb$ n'est peut-être pas le même que le groupe des isométries de $abbabb$. À voir.


Autre question est-il nécessaire de distinguer les cas $aabbbb$ et $bbaaaa$ dans notre étude ? Pas sûr, il suffit peut-être de lister les tétraèdres tels que $a\not=b$
Sinon, la liste des cas pourrait être :
$abbbbb$ ; $aabbbb$ ; $abbabb$ ; $aaabbb$; $aababb$ .
Il me semble que nous avons déjà par le passé traité d'une telle zoologie, non ?
À suivre. Amicalement. jacquot

Bonjour,
Illustration maladroite de la composée d'un quart de tour (axe= droite des milieux de deux côtés opposés) suivi de la symétrie par rapport au plan médiateur du segment des milieux

Prenons maintenant un tétraèdre ayant pour longueurs d'arêtes $baaaaa$
le groupe de ses isométries n'a plus que $4$ éléments: l'identité, la symétrie par rapport au plan de l'arête de longueur $b$ , la symétrie par rapport au plan médiateur de l'arête opposée à l'arête de longueur $b$ et le demi tour de la droite des milieux de ces deux arêtes. chacune de ces isométries est auto-inverse, on retrouve le groupe du matelas.


Pour un tétraèdre ayant deux arêtes consécutives de longueur $b$ et tous les autres de longueur $a$ (de type $bbaaaa$), je note $c$ la troisième arête de la base $bbc$ et $c'$ son arête opposée ; on a donc un tétraèdre $bbcaac'$ où les longueurs $a,c,c'$ sont égales.
Le groupe de ses isométries est constitué de l'identité, la symétrie par rapport au plan médiateur de l'arête $c$ et celle par rapport au plan médiateur de son arête opposée $c'$ et enfin la composée de ces deux symétries qui est le demi-tour autour de la droite des milieux de $c$ et $c'$. What else ?
Sauf oubli, on retrouve un groupe du matelas.
[ Edit : Corrigé après avoir lu l'intervention de GaBuZoMeu ci-dessous.]

Pour un tétraèdre ayant deux arêtes opposées de longueur $b$ et toutes des autres de longueur $a$ (type $baabaa$, le groupe des isométries aura (au moins) $6$ éléments:
L'identité, les symétries par rapport aux plans médiateurs des arêtes de longueur $b$ leur composée qui est le demi-tour autour de la droite de leurs milieux, plus les deux composées 1/4 de tour (direct ou rétrograde) autour de la droites de leurs milieux suivi de symétrie par rapport au plan médiateur du segment des milieux. Autre chose ?
[ Edit : Oui, voir l'intervention de GaBuZoMeu ci-dessous.]

Pour un tétraèdre de type $bbbaaa$ ayant une face équilatérale $bbb$, le groupe des isométries a $6$ éléments : les trois rotations autour de l'axe orthogonal à la base équilatérale en son centre (identité, 1/3 de tour, 2/3 de tour) et les symétries par rapports aux plans médiateurs des côtés du triangle équilatéral.
question : ce groupe à 6 éléments est-il isomorphe au précédent ?

Enfin, pour un tétraèdre $baabba$ qui n'a aucun face équilatérale, j'ai bien l'impression que le groupe des isométries se réduit au singleton {identité}. Que n'ai-je pas vu ? [small]Que neige fondue… sur ton balconnet[/small]

Edit, au temps pour moi : dans le dernier cas, hormis l'identité, l'un des trois demi-tours appartient au groupe des isométries : celui dont l'axe joint les milieux des deux arêtes opposées de longueur distincte.
Le groupe des isométries est alors isomorphe à $\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}$.

Amicalement jacquot

Il me semble qu'on peut considérer le groupe des permutations des sommets du tétraèdre comme sous-groupe du groupe des permutations des six arêtes, précisément le sous groupe du groupe alterné $\mathfrak A_6$ préservant la partition en paires $\{\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}\}$ (où chaque paire de la partition est une paire d'arêtes opposées). On voit comme ça $\mathfrak S_3$ comme quotient de $\mathfrak S_4$ par le sous-groupe distingué des doubles transpositions.
Maintenant, on colore les arêtes en deux couleurs $a$ et $b$
Si on a $\{\{a,a\},\{a,a\},\{a,a\}\}$, aucune restriction.
Si on a $\{\{a,a\},\{a,a\},\{a,b\}\}$, on ne peut permuter que les deux premières paires et, quand on fixe les paires, on ne peut avoir une double transposition qu'à l"intérieur des deux premières paires : groupe d'ordre 4.
Si on a $\{\{a,a\},\{a,a\},\{b,b\}\}$, on ne peut permuter que les deux premières paires et, quand on fixe les paires, on peut faire une double transposition à l'intérieur de n'importe quelles deux paires : groupe d'ordre 8.
Si on a $\{\{a,a\},\{a,b\},\{a,b\}\}$, on ne peut permuter que les deux dernières paires et, quand on fixe les paires, on peut faire aucune double transposition : groupe d'ordre 2.
Si on a $\{\{a,a\},\{a,b\},\{b,b\}\}$, on ne peut pas permuter les paires et on peut faire la double transposition portant sur la première et la dernière paire : groupe d'ordre 2.
Si on a $\{\{a,b\},\{a,b\},\{a,b\}\}$, on peut permuter les paires comme on veut et, quand on fixe les paires, on ne peut faire aucune double transposition : groupe d'ordre 6.

Bonne nuit Jacquot,

Il te manque deux demi-tours autour des droites joignant les milieux d'arêtes opposées de longueur $a$.

Plus de détails demain.

La liste des huit permutations qui conviennent (les arêtes opposées $b$ sont $5$ et $6$) :
$$\begin{array}{cccccccc}
1&2&&3&4&&5&6\\
1&2&&4&3&&6&5\\
2&1&&3&4&&6&5\\
2&1&&4&3&&5&6\\
3&4&&1&2&&5&6\\
4&3&&2&1&&5&6\\
3&4&&2&1&&6&5\\
4&3&&1&2&&6&5
\end{array}$$
Je te laisse trouver les transformations géométriques auxquelles elles correspondent. Je t'aide : la première, c'est l'identité :-D.

PS. Soland indiquait plus haut que le groupe de ces permutations est le groupe diédral $D_4$. C'est bien vrai, et on voit ici ce groupe plutôt comme produit semi-direct $(C_2\times C_2)\rtimes C_2$, où le $C_2$ de droite agit sur $C_2\times C_2$ par $(x,y)\mapsto (y,x)$.