Construction approchée endécagone régulier

Bonsoir à toutes et tous !
Je continue la série ... J'ai commencé par trouver une construction approchée de pi/11 (voir la première figure) très satisfaisante : à partir d'un hexagone régulier ABCDEF, on détermine sur le côté BC (en opérant à partir de celui-ci une série de cinq divisions de segment par 2) le point X tel que BX = 13.BC/32. L'angle XAB est très proche de pi/11, et sa tangente vaut 13(sqrt3)/77, soit environ 0,292424, et très proche de tg pi/11, 0,293627 d'après les tables.
Je m'en suis servi pour faire une première construction approchée d'un endécagone, selon le même principe que l'ennéagone (voir la deuxième figure ci-dessous)(je vous prie de m'en excuser, j'ai oublié le point X sur ma figure, et apparemment, j'ai fait une fausse manœuvre d'enregistrement, si bien que j'ai perdu ma figure et ne puis la retoucher !) : on trace la demi-droite AX et un arc de cercle de centre B et de rayon BC = BA, dont l'intersection avec ladite demi-droite donne le troisième point G de l'endécagone (les deux premiers étant A et B ). Puis on détermine P, le point symétrique de B par rapport à AX, on trace la demi-droite AP et un arc de cercle de centre G et de rayon GB, dont l'intersection avec AP donne le quatrième point H de l'endécagone. On construit de même les cinquième et sixième points, et pour le septième point, celui opposé au côté AB, on prend l'intersection d'un arc de cercle, de centre le sixième point et toujours de même rayon, avec la médiatrice de AB. On complète l'endécagone en construisant les quatre derniers points par symétrie par rapport à cette même médiatrice.
On obtient l'endécagone approché, en noir sur la figure, dont seul le septième sommet s'écarte notablement du sommet correspondant de l'endécagone régulier, en rouge. On voit aussi que l'angle en ce sommet, ainsi que les deux angles voisins, ont des valeurs qui sont assez éloignées de celle de tous les autres angles.
Mais une autre coïncidence m'a permis d'obtenir une meilleure approximation de l'endécagone régulier (voir la troisième figure ci-dessous) : il se trouve que la grande diagonale de l'endécagone coupe le côté opposé de l'hexagone en un point situé à peu près exactement au quart de ce côté, ce qui est confirmé par le fait que tg 5pi/11 est très voisin de 4sqrt3.
J'ai donc modifié un peu ma première construction (voir la quatrième figure) en construisant le septième sommet de l'endécagone comme l'intersection de la médiatrice du côté DE de l'hexagone et de la demi-droite partant de A et passant par le milieu de ME, M étant le milieu de DE. Avec cette seule modification, j'obtiens une bien meilleure approximation, au prix d'une perte, relativement minime, de l'égalité de tous les côtés de mon endécagone approché.
Peut-être pourrait-on essayer de systématiser cette approche ?
Bien cordialement