Quatre points rebelles

Il suffit de trouver trois points $u,v,w$ parmi les quatre tels que l'angle géométrique $\widehat{uvw}$ soit supérieur ou égal à $\pi/2$. Alors tout disque contenant $u$ et $w$ contient aussi $v$.

Si l'enveloppe convexe de l'ensemble des quatre points est un quadrangle, au moins un des quatre angles aux sommets du quadrangle est supérieur ou égal à $\pi/2$ puisque leur somme est $2\pi$.
Si l'enveloppe convexe est un triangle, il y a un point $v$ qui n'est pas un sommet de ce triangle. Les trois angles de sommet $v$ ont une somme égale à $2\pi$, donc l'un d'entre eux est strictement supérieur à $\pi/2$.

PS. Si l'enveloppe convexe est un segment ... :-D

PPS. Le raisonnement montre que, sauf si les quatre points sont les sommets d'un rectangle, il existe deux parmi les quatre points tels que tout disque fermé qui les contient contient un troisième point dans son intérieur.

PPPS. Oups, je suis allé trop vite. Ça ne marche pas comme ça !

Bon, je reprends sur de meilleures bases.

1°) L'enveloppe convexe de l'ensemble de quatre points n'est pas un quadrilatère (c'est un triangle ou un segment). Tout disque contenant les sommets de l'enveloppe convexe contient les autres points (par convexité).

2°) L'enveloppe convexe est un quadrilatère. Alors au moins une des deux diagonales de ce quadrilatère est telle que la somme des angles aux sommets qui ne sont pas sur la diagonale est supérieure ou égale à $\pi$, puisque la somme des angles du quadrilatère est $2\pi$. Alors tout disque qui contient les sommets de cette diagonale contient au moins un autre sommet du quadrilatère.

Quel rapport entre ton "vrai souci" et la question que tu as posée ????
Je ne comprends d'ailleurs pas ton "vrai souci".

PS. Ah, je crois comprendre. Le problème se pose pour cinq points sommets d'un polyèdre convexe dans $\mathbb R^3$. Tu veux en trouver trois tels que pour toute sphère passant par ces trois points, au moins un des deux autres points appartient à la boule fermée bordée par cette sphère. Qu'est-ce qui peut jouer le rôle de l'angle inscrit ?