Un alignement classique ?
dans Géométrie
Bonsoir à tous
Je suppose que la figure jointe a déjà été étudiée à de nombreuses reprises dans ce forum ...
Et si par extraordinaire ce n'était pas le cas, il me semble qu'elle mérite un coup d’œil, non ?
On donne un quadrilatère ABCD, et les centres de gravité I, J, K et L des quatre triangles définissables dans ce quadrilatère.
Montrer que les quatre points M, N, P et Q, définis comme étant les milieux des diagonales de ABCD et de IKJL, sont alignés.
Je me demande par ailleurs s'ils ne formeraient pas une division harmonique ? et ce ne serait certainement pas par hasard !
BIen cordialement
JLB
Je suppose que la figure jointe a déjà été étudiée à de nombreuses reprises dans ce forum ...
Et si par extraordinaire ce n'était pas le cas, il me semble qu'elle mérite un coup d’œil, non ?
On donne un quadrilatère ABCD, et les centres de gravité I, J, K et L des quatre triangles définissables dans ce quadrilatère.
Montrer que les quatre points M, N, P et Q, définis comme étant les milieux des diagonales de ABCD et de IKJL, sont alignés.
Je me demande par ailleurs s'ils ne formeraient pas une division harmonique ? et ce ne serait certainement pas par hasard !
BIen cordialement
JLB
Réponses
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$N=\dfrac{B+D}{2}$ et $M=\dfrac{A+C}{2}$ donc $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})$.
$P=\dfrac{2A+B+2C+D}{6}$ donc $\overrightarrow{MP}=\dfrac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})$.
$Q=\dfrac{A+2B+C+2D}{6}$ donc $\overrightarrow{MQ}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})$.
En particulier, $P$ est le milieu de $MQ$ et $Q$ celui de $PN$. -
Merci, Gai Requin,
Je me doutais bien que ce n'était question que d'un petit calcul (barycentrique, c'est bien ça ?) sans difficulté aucune ! Muni de cet excellent exemple, je vais pouvoir me mettre à étudier ce genre de choses !
Merci encore et bonne nuit !
JLB -
Bonjour JLB,
Il faudrait que tu jettes un coup d'œil à la notion de complété vectoriel d'un espace affine qui permet de faciliter grandement les calculs barycentriques. -
Bonjour Jelobreuil
Si $G$ est l'isobarycentre de $A,B,C,D$, les centres de gravité $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ de $BCD,CDA,DAB,ABC$ sont les images de $A,B,C,D$ par l'homothétie $h$ de centre $G$ et de rapport $-\dfrac{1}{3}$. Si $P$ est le milieu de $2$ des points $A,B,C,D$ et $Q$ le milieu des $2$ autres, $G$ étant le milieu de $\left[ PQ\right] $, la droite $PQ$ est invariante par $h$.
"Je me demande par ailleurs s'ils ne formeraient pas une division harmonique ?"
Hélas, $\left( P,Q,h\left( P\right) ,h\left( Q\right) \right) =4$.
Amicalement. Poulbot -
Bonjour Gai Requin,
Merci de cette indication, mais ne s'agit-il pas tout simplement de calcul vectoriel ?
Quand tu écris N = (B+D)/2, n'est-ce pas une façon simplifiée d'écrire, avec des vecteurs, ON = (OB + OD)/2, O étant un point origine quelconque du plan ?
Est-ce cela que tu appelles "complété vectoriel" du plan affine ?
Bien cordialement
JLB -
Est-ce plus simple d'écrire $N=\dfrac{B+D}{2}$ ou de dire que $N$ est l'unique point du plan tel que $\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{ND}=\vec{0}$ ?
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Bonjour!
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