Somme directe

alibabadu59 · June 2018

Bonjour je bloque sur une question du concours E3A 2014 sujet B.
On doit montrer que Ke rA + im tA sont supplémentaires dans E. Je bloque pour montrer que ces deux ensembles sont en somme directe. On doit montrer que leur intersection est réduite à zéro mais je n'y arrive pas...
Dans le corrigé il propose une solution mais je ne comprends pas comment on passe de AtAy=0 à norme de Ay=0 puis x=0 ...
Merci de bien vouloir m'éclairer ... 77460

pappus · June 2018

Bonjour
On se sert de l'identité : $$
\langle A(x),y\rangle=\langle x,{}^t\!A(y)\rangle,\quad \forall x,y\in \mathbb R^n.
$$ Ainsi, $A{}^t\!A(y)=0$ entraîne $\langle A{}^t\!A(y),y\rangle=0=\langle {}^t\!A(y),{}^t\!A(y)\rangle=\| {}^t\!A(y)\|^2=0$
Amicalement.
[small]p[/small]appus

alibabadu59 · June 2018

Merci beaucoup pour cette explication très claire, merci, bonne soirée à vous!

alibabadu59 · June 2018

Mais il y a donc une erreur dans le corrigé, on aboutit pas à norme de Ay =0 mais à norme de tAy=0 ou il y a un lien entre les deux que je ne vois pas...?