Lieu géométrique
Bonsoir,
Si quelqu'un avait de l'aide à apporter pour ce problème de lieu géométrique, je serais heureux de quelques éclaircissements.
Soit $ABC$ un triangle non aplati. Soit $E$ un point du cercle circonscrit à $ABC$. $(AE)$ coupe $(BC)$ en $D$. Quel est le lieu géométrique du centre $M$ du cercle circonscrit à $BDE$ ?
Bonne soirée, merci.
Si quelqu'un avait de l'aide à apporter pour ce problème de lieu géométrique, je serais heureux de quelques éclaircissements.
Soit $ABC$ un triangle non aplati. Soit $E$ un point du cercle circonscrit à $ABC$. $(AE)$ coupe $(BC)$ en $D$. Quel est le lieu géométrique du centre $M$ du cercle circonscrit à $BDE$ ?
Bonne soirée, merci.
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Réponses
Une droite passant par $B$.
Cordialement,
Rescassol
Avec Morley circonscrit, cette droite a pour équation $ a z - b^2c \overline{z} = b(a - c)$.
Cordialement,
Rescassol
Une question supplémentaire : Montrer que si D est diamétralement opposé à C sur le cercle ABC, il l'est également à E sur le cercle BDE, autrement dit, les points D, M et E sont alignés.
Cordialement
Jelobreuil, $d+e-2m=\dfrac{a(c + e)(b - e)}{bc - ae}$ qui s'annule si $e=-c$,d'où le résultat.
Cordialement,
Rescassol
PS: Tu as un peu interverti $D$ et $E$.
Le lieu de $M$ est la droite symétrique par rapport à $BC$ de la $B$-hauteur du triangle $ABC$; de plus $DM\perp AC$.
(Utiliser, par exemple, une chasse aux angles simple)
Amicalement. Poulbot
Pour la deuxième question, si je ne me trompe pas sur la définition de $E$ (est-ce bien $(BC) \cap (AD)$ ?) alors on a $\widehat{DBC}=90°$ puis $\widehat{DBE}=90°$ par alignement des points $E$, $B$ et $C$ ce qui signifie bien que $[DE]$ est un diamètre du cercle circonscrit à $DEB$.
Si je ne me trompe pas...
Bonne journée !
Non, Inversion, tu confonds $D$ et $E$. Le message initial dit:
Soit $E$ un point du cercle circonscrit à $ABC$. $(AE)$ coupe $(BC)$ en .$D$.
Cordialement,
Rescassol
D'accord, désolé, mais en fin de compte, ma preuve ne marche-t-elle pas ? Je ne vois pas en quoi cela change l'énoncé...
Cordialement.
Oui, tu as raison pour le raisonnement, Inversion.
Je voulais juste rétablir l'énoncé initial.
Cordialement,
Rescassol
D'accord merci !
Bonne journée,
Inversion
Et bienvenue sur ce forum !
Désolé de t'avoir embarrassé en intervertissant les points D et E dans ma figure par rapport à l'énoncé initial, comme l'avait bien remarqué Rescassol, que je remercie de son attention !
Et grand merci à Poulbot de son indication de solution synthétique ...
Bien cordialement
JLB
J'aimerais bien connaître l'histoire de la parabole du dessin initial.
Si Conique* daignait revenir parmi nous ...
Il me semble que nous ne savons pas tout sur ce problème.
Cordialement,
Rescassol
Poulbot wrote : "Le lieu de $M$ est la droite symétrique par rapport à $BC$ de la $B$-hauteur du triangle $ABC$; de plus $DM\perp AC$"
.
Si $BT$ est la tangente en $B$ au cercle $BDE$, on a $\left( BD,BT\right) =\left( ED,EB\right) =\left( EA,EB\right) =\left( CA,CB\right) $.
So $\left( BC,BM\right) =\left( CA,CB\right) +\dfrac{\pi }{2}=-\left( BC,BH\right) $.
De plus, $DM$ ayant la direction symétrique par rapport à $BC$ de celle de $BM$, est parallèle à $BH$.
Amicalement. Poulbot
@conique* : il s'agit d'angles orientés de droites
Rescassol: merci pour votre aide : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1148201,1148201
Donc est-ce que l'égalité que vous avez donné est celle d'une droite ?
Si je suis ce qui est indiqué p. 221 de votre référence, une équation de droite est de la forme $\bar{A}z+A \bar{z} + B = 0$, avec $A \in C$ et $B \in R$.
Ceci implique, pour nous, que $\bar{a} = -b² c$ et que $b(a-c) \in R$. Or, si on admet la première égalité (je ne vois pas du tout pourquoi on peut le faire cependant), je fais ce calcul :
$\bar{b(a-c)}=\bar{b}(\bar{a}-\bar{c})=\bar{b}(-b² c - \bar{c}) = -|b|² bc - \bar{b} \bar{c} = -(bc+\bar{bc})$.
Or, $z+\bar{z} \in R$ pour tout $z \in C$. On a donc bien notre $B$ réel. Ce qui est assez magique !
Si vous aviez une indication sur les calculs que vous avez fait pour trouver cette équation, je serais volontiers preneur.
Quant à la parabole, elle est le lieu de l'intersection de la droite $(EB)$ et de la médiatrice de $[BD]$ (qui passe donc par $M$).
Merci jelobreuil et poulbot pour vos questions / aides / solutions. Je vais les étudier de ce pas.
Bonne journée,
"Quant à la parabole, elle est le lieu de l'intersection de la droite $\left( EB\right) $ et de la médiatrice de $\left[ BD\right] $"
Dans ce cas, c'est une hyperbole et non une parabole.
Cordialement. Poulbot
Pour votre démonstration, je ne comprends pas toutes vos égalités d'angles ; par exemple celle-ci : $(ED,EB)=(EA,EB)$ est-ce que vous sous-entendez modulo $\pi$ ?
Merci pour l'indication sur la nature du lieu évoqué ci-dessus.
Dans la configuration de jelobreuil ($E$ est diamétralement opposé à $C$), si on appelle $F$ le point en question, il est "à l'infini", dirait-on, puisque les deux droites sont parallèles. (voir ci-dessous)
Plan :
0) On se donne le cadre de Morley circonscrit décrit dans le lien ci-dessus
1) On détermine l'affixe $d$ de $D$
2) On détermine l'affixe $m$ de $M$ centre du cercle circonscrit à $BDE$
3) On s'attend à trouver un paramétrage de droite par $e$ l'affixe de $E$ ?
1)
(i) En toute généralité, une équation de la droite passante par $a$ et $b$ est $\overline{u}z - u \overline{z}+v = 0$, avec $u=a-b$ et $v=a\overline{b}-b\overline{a}$.
(ii) Mais dans le cadre de Morley circonscrit dans un triangle non aplati $abc$, en notant $R$ le rayon du cercle circonscrit à $abc$, la symétrie orthogonale relativement à la droite $(ab)$ est : $$\sigma: z \longmapsto a+b - \frac{ab}{R}\overline{z}$$.
(iii) Ainsi, la droite $(ab)$, le lieu des points fixes de $\sigma$, a pour équation : $$a+b - \frac{ab}{R}\overline{z} = z$$. Dans notre cas, on a choisi $R=1$, et donc l'équation de $(ab)$ est : $z = a+b-ab\overline{z}$.
(iv)
$d \in (bc)$ donne : $d = b + c - bc \overline{d}$
$d \in (ae)$ donne : $d = a + e - ae \overline{d}$
D'où : $$\overline{d}=\frac{a+e-(b+c)}{ae-bc}$$
On peut en tirer $d$. On n'oublie pas que pour tout point $z$ du cercle circonscrit à $abc$, $\overline{z} = \frac{1}{z}$.
2)
$m$ est le centre du cercle circonscrit à $bde$, donc : $|b-m|=|d-m|=|e-m|$. Je ne vois plus trop comment progresser.
Pour Conique*:
La droite passant par les points $A(a)$ et $B(b)$ a pour équation $pz+q\overline{z}+r=0$ avec
$p=\overline{b}-\overline{a},q=a-b,r=b\overline{a}-a\overline{b}$, ce qui est ce que tu as écrit, à un coefficient complexe multiplicatif près.
Avec Morley circoncrit au triangle $ABC$, on a $\overline{a}=\dfrac{1}{a}$ et permutation circulaire.
On obtient donc pour les droites $(BC)$ et $(AE)$: $z+bc\overline{z}-b-c=0$ et $z+ae\overline{z}-a-e=0$ après avoir "chassé" les dénominateurs.
Le point d'intersection de ces deux droites s'obtient en résolvant le système à deux inconnues $z$ et $\overline{z}$ et cela donne $d = \dfrac{abc - abe - ace + bce}{bc - ae}$.
Veux tu que je développe la suite ?
Cordialement,
Rescassol
Merci beaucoup. Nos messages se sont croisés.
Cela m'intéresserait d'avoir les idées sur la poursuite des calculs.
Pour Conique*:
Ici, les points et vecteurs sont quelconques.
La droite passant par le point $A(a)$ et orthogonale au vecteur $U(u)$ a pour équation $\overline{u}(z-a)+u(\overline{z}-\overline{a})=0$.
Si on applique ceci au milieu $M(m)$ de $[AB]$ avec $m=\dfrac{a+b}{2}$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$, on obtient que la médiatrice de $[AB]$ a pour équation $(\overline{b}-\overline{a})z+(b-a)\overline{z}+(a\overline{a}-b\overline{b})=0$
Si on applique ceci à un triangle quelconque $ABC$, on obtient le centre du cercle circonscrit
$o=-\dfrac{ab(\overline{a}-\overline{b})+bc(\overline{b}-\overline{c})+ca(\overline{c}-\overline{a})}{(a\overline{b}-b\overline{a})+(b\overline{c}-c\overline{b})+(c\overline{a}-a\overline{c})}$
Maintenant, si je reviens à ta figure et que j'applique cette formule, j'obtiens le point $M(m)$ avec $m=-\dfrac{be(a - c)}{bc - ae}$.
Le simple fait que ceci soit une fonction homographique de $e$ prouve (groupe circulaire) que $M$ décrit un cercle ou une droite.
J'ai ensuite cherché l'équation de la droite $(BM)$ et constaté qu'elle ne dépendait pas de $e$, ce qui conclut.
Cordialement,
Rescassol
La justification de la nature du lieu que vous faites, "(groupe circulaire)", est pour l'instant hors de portée pour moi, mais j'ai bien compris les calculs. J'imagine qu'il aurait suffit de les réaliser, puis de conclure grâce à l'équation trouvée : on reconnaît l'équation d'une droite.
La démonstration de Poulbot est jolie aussi, dans un tout autre style.
Avec un peu plus de calculs, le lieu de $F$ a pour équation:
$(z - bc\overline{z})(az + b^2c\overline{z}) - 2abz + 2b^2c^2\overline{z} + b(b + c)(a - c)=0$.
C'est effectivement une hyperbole.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Les asymptotes sont orthogonales aux droites $(BC)$ et $(BM)$.
Et son centre est $J(j)$ avec $j=\dfrac{2b(2ab + ac - bc)}{(a + b)^2}$.