Nom d'un point
Bonjour,
quelqu'un peut-il m'aider à trouver le nom du point $Z$ dans la figure ci-jointe ?
$ABC$ est un triangle, $A',B',C'$ sont les milieux des côtés, $D,E,F$ sont les milieux des arcs et $I$ le centre du cercle inscrit. On note $M,N,P$ les symétriques de $I$ par rapport à $A',B',C'$ respectivement. Alors $(DM), (EN), (FP)$ sont concourants en un point $Z$ du cercle circonscrit.
quelqu'un peut-il m'aider à trouver le nom du point $Z$ dans la figure ci-jointe ?
$ABC$ est un triangle, $A',B',C'$ sont les milieux des côtés, $D,E,F$ sont les milieux des arcs et $I$ le centre du cercle inscrit. On note $M,N,P$ les symétriques de $I$ par rapport à $A',B',C'$ respectivement. Alors $(DM), (EN), (FP)$ sont concourants en un point $Z$ du cercle circonscrit.
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Réponses
ce point est sur la droite reliant le point de Feuerbach au centre de gravité du triangle .
Cordialement
Des compléments ici
http://rdassonval.free.fr/geogebra/index.html
La bible ici
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
$$z=\frac{abc(a+b+c)}{ab+bc+ca}.$$
Je dégaine avec Morley inscrit, mais il me fallait le temps de faire les calculs.
Je confirme que le point $Z$ est bien $X_{100}(x_{100})$ avec $x_{100}=\dfrac{2s_3(s_1^2 + s_2)}{s_1(s_1s_2 - s_3)}$.
Comme l'a indiqué fm_31, il est bien aligné avec $O(o)$ (centre du cercle circonscrit) et $X_8(x_8)$ (point de Nagel) avec $o=\dfrac{2s_1s_3}{s_1s_2-s_3}$ et $x_8=\dfrac{2(s_2^2+s_1s_3)}{s_1s_2-s_3}$ d'une part, et avec $X_{10}(x_{10})$ (point de Spieker) et $X_{21}(x_{21})$ (point de Schiffler) avec $x_{10}=\dfrac{s_2^2+s_1s_3}{s_1s_2-s_3}$ et $x_{21}=\dfrac{2s_3(s_1^2s_2-2s_1s_3-s_2^2)}{(s_1s_2-s_3)(s_1s_2-4s_3)}$ d'autre part.
Cordialement,
Rescassol
J'oubliais:
Le centre de gravité $G(g)$ est donné par $g=\dfrac{2(s_2^2+s_1s_3)}{3(s_1s_2-s_3)}$ et le point de Feuerbach $X_{11}(x_{11})$ par $x_{11}=\dfrac{s_2}{s_1}$. Ces deux points sont effectivement alignés avec $X_{100}$ comme indiqué par fm_31.
Je joins une figure.
Cordialement,
Rescassol
Une tentative de généralisation (qui ne devrait pas poser de problème aux duettistes Rescassol et Morley).
Etant donné un point $Q$ d'isogonal $Q^{\ast }$ (par rapport à $ABC$),
$M,N,P$ sont les symétriques de $Q$ par rapport aux milieux de $\left[ BC\right] ,\left[ CA\right] ,\left[ AB\right] $ (ce sont aussi les symétriques de $A,B,C$ par rapport au complément de $Q$)
$D,E,F$ sont les points où les droites $AQ^{\ast },BQ^{\ast },CQ^{\ast }$ recoupent le cercle circonscrit $\left( O\right) $
Alors les droites $DM,EN,FP$ concourent en $\Omega \in \left( O\right) $.
$\Omega $ est l'anticomplément du centre $\omega $ de l'hyperbole équilatère passant par $A,B,C,Q$; c'est aussi le point diamétralement opposé sur $\left( O\right) $ au quatrième point d'intersection du cercle $\left( O\right) $ et de l'hyperbole.
Dans le cas $Q=I$, on a aussi $Q^{\ast }=I$ et $\omega $ est le point de Feuerbach de $ABC$
Amicalement. Poulbot
PS (rappel) : complément $=$ image par l'homothétie $\left( G,-\dfrac{1}{2}\right) $, anticomplément $=$ image par l'homothétie $\left( G,-2\right) $
Morley circonscrit trouve $\Omega=\dfrac{q^2 - s_1q - \overline{q}s_3 + s_2}{s_3\overline{q}^2 - s_2\overline{q} - q + s_1}$ qui vérifie bien $\Omega\overline{\Omega}=1$.
La suite à plus tard.
Cordialement,
Rescassol
L'hyperbole a pour équation:
$(- s_3\overline{q}^2 + s_2\overline{q} + q - s_1)z^2 + s_3(q^2 - s_1q + s_2 - \overline{q}s_3)\overline{z}^2$
$+(- q^2 + s_3\overline{q}^2s_1 - s_2\overline{q}s_1 + s_3\overline{q} + s_1^2 - s_2)z + (- q^2s_2 + s_1qs_2 - qs_3 + \overline{q}^2s_3^2 - s_2^2 + s_1s_3)\overline{z}$
$+(q^2s_1 - qs_1^2 + qs_2 - s_3\overline{q}^2s_2 - s_3\overline{q}s_1 + \overline{q}s_2^2) = 0$
Elle recoupe le cercle circonscrit en $q'=-\dfrac{q^2 - s_1q + s_2 - \overline{q}s_3}{s_3\overline{q}^2 - s_2\overline{q} - q + s_1}$
et son centre est $\omega=\dfrac{q^2 - s_1s_3\overline{q}^2 + (s_1s_2-s_3)\overline{q} - s_1^2 + s_2}{2(- s_3\overline{q}^2 + s_2\overline{q} + q - s_1)}$
On a bien les propriétés que tu annonces.
Cordialement,
Rescassol
et merci pour ta vérification.
Amicalement. Poulbot