À chaque courbe tritangente son invariant

Swingmustard · June 2018

Bonjour,

a, b et c sont les côtés d'un triangle rectangle formé par des tangentes à une même courbe.
Exprimer, en fonction de a, b et c, une quantité qui reste constante lorsque varie la tangente qui porte c, dans les cas où la courbe est :
1) un quart de cercle
2) une portion de parabole
3) une branche d'hyperbole (dans ce cas, remplacer les deux autres tangentes par les asymptotes)
4) un quart d'astroïde.
(Il y a quatre questions : la quantité à trouver n'est pas la même d'une courbe à l'autre.)

Erratum. J'ajoute comme condition : Les deux points de contact extérieurs sont équidistants du sommet de l'angle droit. (Si quelqu'un a une expression plus élégante pour ça, ou "La figure est symétrique par rapport à la bissectrice des tangentes extérieures" qui me semble équivalent, je suis preneur.) 77552

Guego · June 2018

Une quantité qui reste constante : $a^2+b^2-c^2$.
Il vaudrait mieux demander une relation entre $a$ et $b$ seuls.

Guego · June 2018

Sinon, dans le cas d'un quart de cercle de rayon $1$, je trouve $b = \dfrac{2(1-a)}{2-a}$, ce qu'on peut écrire de manière plus symétrique : $ab=2a+2b-2$.

Swingmustard · June 2018

Bonjour

$a^2+b^2-c^2$ m'a bien fait rire, merci.

Pour le quart de cercle, je me suis inspiré ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1537360,1537360#msg-1537360.
J'en tire une expression linéaire en a, b et c.

pappus · June 2018

Bonjour
L'équation de la tangente de longueur $c$ est $\dfrac xa+\dfrac yb=1$
Tout revient donc dans chacun des quatre cas à déterminer l'équation tangentielle de la courbe!
Mais c'est déjà une notion off limits!
Amicalement
[small]p[/small]appus

poulbot · June 2018

Bonjour
En prenant un repère orthonormé porté par les deux tangentes perpendiculaires,
- pour la parabole tangente en $\left( \alpha ,0\right) $ et $\left( 0,\beta \right) $, on a $\dfrac{a}{\alpha }+\dfrac{b}{\beta }=1$
- pour la conique tangente en $\left( \alpha ,0\right) $ et $\left( 0,\beta \right) $ et de centre $\left( \lambda \alpha ,\lambda \beta \right) $, on a $\dfrac{a}{\alpha }+\dfrac{b}{\beta }=1+\dfrac{ab}{2\lambda \alpha \beta }$
- pour l'hyperbole $xy=k$, on a $ab=4k$
- pour l'astroïde $t\rightarrow \left( \alpha \cos ^{3}t,\alpha \sin ^{3}t\right) $, on a $a^{2}+b^{2}=\alpha ^{2}$ (résultat plus que classique)

Amicalement. Poulbot

Swingmustard · July 2018

Merci bien pour vos réponses.
Après avoir restreint mon énoncé (cf Erratum), j'avais, avec les notations de Poulbot, $\alpha=\beta=1$.

Origine de la question.
1) Le fil indiqué plus haut m'en avait appris une belle sur le quart de cercle.
Je dois progresser sur la conique (à centre) pour apprécier tout le sel de la généralisation proposée.
2) Un élève de Seconde avait "enveloppé" des segments façon fils tendus sans que j'aie, il y a un an, été capable d'identifier la portion de parabole.
4) L'astroïde peut être mentionné discrètement devant des Quatrièmes vu qu'on leur demande, à raison, le lieu du milieu de l'échelle glissant le long d'un mur.
Bref j'étais intrigué par une parenté bien faible entre les questions, avec des invariants liés au triangle, qui changeaient pour chaque courbe : $a+b+c$, $a+b$, $ab\over 2$, $c$.
Ou encore : le périmètre du triangle, une partie de ce périmètre, l'aire, l'autre partie du périmètre.
(Encore merci Guego, c'est vrai que j'avais deux paramètres et non trois.)

Deuxième question.
On conserve la restriction du problème à $\alpha=\beta=1$. Et on oublie complètement le triangle.
Quelle vraie et forte parenté existe entre les quatre courbes ?

Amicalement,
Swingmustard

Swingmustard · July 2018

Bonjour,

$(\cos, \sin)$ paramètrent l'arc de cercle (pas tout-à-fait celui dont j'ai parlé, désolé pour ça).
$(\cos^3, \sin^3)$ s'en chargent pour l'astroïde, comme le rappelait Poulbot.
Quelles sont les autres puissances de $(\cos, \sin)$ qui paramètrent (une portion de) la parabole et (une branche de) l'hyperbole ?

Amicalement,
Swingmustard.

GaBuZoMeu · July 2018

pour un morceau de parabole : $(\cos(t),\cos(t)^2)$. Pour un morceau d'hyperbole : $(\cos(t), \cos(t)^{-1})$. :-D

Swingmustard · July 2018

Je ne connais pas d'autre site de maths, et je n'ai pas envie d'en chercher, vu qu'on trouve ici un excellent mélange de sérieux et de blagounettes B-)

GaBuZoMeu · July 2018

Pas sérieux, mes paramétrisations ? Une autre alors : $(\cos(t), \sin(t)^2)$.

pappus · July 2018

Bonjour
Une autre paramétrisation:
$$t\longmapsto (\cos^4(t),\sin^4(t))$$
Que donne-t-elle?
Comment paramétriser de façon analogue les morceaux manquants de cette courbe algébrique?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Math Coss · July 2018

Un air de déjà vu...

Swingmustard · July 2018

Merci Pappus, c'est à celle-ci que je pensais, qui donne la partie entre $I(1,0)$ et $J(0,1)$.
J'ignore comment paramétriser le reste de la parabole.

@GaBuZoMeu: une deuxième chance avec l'hyperbole ?

@Math Coss: oui ce fil a été parcouru, mais sans que j'y voie ces paramétrisations. Par ailleurs plusieurs notions m'y sont inconnues ou hors de ma portée, donc pardon de ramer derrière, on fait juste ce qu'on peut pour s'instruire. (Je demeure très reconnaissant de l'aide apportée sur les tétraèdres, donc ne pas croire que je suis contrarié.)

Amicalement,
Swingmustard

Math Coss · July 2018

Le paramétrage de Pappus incite à remarquer que $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$. Pour passer de là à l'équation de la parabole sans racine, il faut élever deux fois au carré : d'abord $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=1$, c'est-à-dire $2\sqrt{xy}=1-x-y$ ; puis $4xy=(1-x-y)^2$, qui se simplifie.

À l'envers, que perd-on quand on passe de $a^2=b^2$ à $a=b$ ? Les solutions telles que $a=-b$. Autrement dit, il faut ajouter l'équation $\sqrt{x}+\sqrt{y}=-1$, qui n'a pas de solution réelle, et l'équation $-2\sqrt{xy}=1-x-y$, qui s'écrit $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=1$ et équivaut à : $\sqrt{x}=\sqrt{y}+1$ ou $\sqrt{y}=\sqrt{x}+1$.

Suivant l'inspiration donnée par Pappus, on pose d'une part $x=\mathrm{ch}^4t$ et $y=\mathrm{sh}^4t$ ($t\ge0$), ce qui paramètre une des deux branches, et d'autre part $x=\mathrm{sh}^4t$ et $y=\mathrm{ch}^4t$ ($t\ge0$), ce qui paramètre l'autre, symétrique de la précédente par rapport à la bissectrice.

Swingmustard · July 2018

Épatant !

À chaque courbe tritangente son invariant

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Bonjour!

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