Par cinq points passe une conique

Ton énoncé est assez mal formulé : on sait aussi compter le nombre de coniques passant par trois points donnés et tangents à deux droites données (points et droites en position générale). Il n'y en a pas une seule, mais il y en a quatre.
Ce que tu fixes en fait ce sont des points par lesquels passe la conique, avec la direction de la tangente en ce point. Ça revient à fixer deux points. Du point de vue algébrique, ça revient à fixer deux conditions linéaires homogènes sur les six coefficients de l'équation de la conique (alors que fixer une tangente revient à imposer une condition quadratique homogène sur les coefficients de la conique).

Dans toutes les situations suivantes, on impose cinq conditions linéaires homogènes sur les 6 coefficients de l'équation de la conique :
1) passer par cinq points,
2) passer par un point avec une tangente de direction fixée, plus passer par trois autres points,
3) passer par deux points, chacun avec une tangente de direction fixée, plus passer par un autre point (ton cas).

En gros, un point avec tangente de direction fixée compte pour deux points (la droite joignant ces deux points confondus est la tangente).

Dans les trois cas mentionnés ci-dessus on a un système de 5 équations linéaires homogènes en 6 inconnues, qui a exactement une droite de solutions (correspondant à une unique conique) en général, quand le système est de rang 5. On peut voir que le système est de rang 5 si et seulement s'il n'y a pas quatre points alignés (avec la règle mentionnée ci-dessus en cas de deux points confondus en un point et une direction de tangente).

On a aussi une histoire duale en travaillant avec l'équation tangentielle de la conique : il existe une unique conique tangente à deux droites données en des points donnés et tangente à une troisième droite, en général.